Доказательство что треугольник равнобедренный

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

AB и BC – боковые стороны ∆ABC.

Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

AF– биссектриса ΔABC

Доказать: AF – медиана и высота.

Справедливы и следующие утверждения.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

AF – медиана ∠ВАС ΔABC

Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.

∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).

∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).

∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).

Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.

Разберем задачу на доказательство.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Что и требовалось доказать.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.

Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

АС = АВ = х + 4 (по условию).

Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,

х = 14 см – основание BC.

На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.

Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:

АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Источник

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

,

где – угол напротив основания.

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Геометрия. 7 класс

Равнобедренный треугольник

Геометрические термины

Медиана

Равнобедренные треугольники

Элементы равнобедренного треугольника

Построение равностороннего треугольника

Необходимо запомнить

AB и BC – боковые стороны треугольника ∆ABC.

AC – основание треугольника ∆ABC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

AF – высота, медиана, биссектриса ∆ABC.

Задача на доказательство

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)=> ∠МСА = ∠MАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠MАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Источник

Равнобедренный треугольник: определение, теорема о свойстве высоты

Что такое равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется тот треугольник, в котором две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми, а третья – основанием.

Признаки равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника

Свойство первое

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Следовательно, они равны по первому признаку. Тогда верно утверждение, что угол ∠B равен углу ∠C.

Свойство второе

В равнобедренном треугольнике биссектриса, опущенная к основанию, является медианой и высотой.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC. К его основанию проведена биссектриса AD.

Так как AD является биссектрисой, соответственно, угол ∠1 будет равен углу ∠2. Сторона AD – общая для ΔADB и ΔADC. Тогда эти треугольники равны по первому признаку. Тогда BD = DC. Следовательно, AD – медиана.

Сумма углов треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так как AD – биссектриса, то угол ∠A = 2*∠1.

В ΔACD ∠CDA + ∠1 + ∠2 = 180°, следовательно, ∠CDA = 90°.

Свойство третье

В равнобедренном треугольнике медианы (соответственно, высоты и биссектрисы), проведенные из вершин при основании, равны.

Дан равнобедренный ΔABC, в котором AB = AC.

∠BAT = ∠BCM, так как AT и MC – биссектрисы равных углов. ∠B – общий для ΔABT и ΔCBM. Следовательно, ΔABT и ΔCBM равны по второму признаку. Тогда AT = CM.

Источник

Геометрия. 7 класс

Равнобедренный треугольник

Геометрические термины

Медиана

Равнобедренные треугольники

Элементы равнобедренного треугольника

Построение равностороннего треугольника

Необходимо запомнить

AB и BC – боковые стороны треугольника ∆ABC.

AC – основание треугольника ∆ABC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

AF – высота, медиана, биссектриса ∆ABC.

Задача на доказательство

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)=> ∠МСА = ∠MАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠MАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Источник