Докажите что а многочлен

10. Многочлены от одной переменной и действия над ними.

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ ТОЖДЕСТВЕННОЕ РАВЕНСТВО

Рассмотрим одночлен и многочлен, которые зависят только от одной пе­ременной, например от переменной х.

По определению многочлен от одной переменной х — это сумма одно­членов от одной переменной х (в которой приведены подобные слагаемые, то есть все одночлены-слагаемые имеют различную степень). Поэтому

Определение 1. Многочленом от одной переменной х называется выражение вида

Заметим, что иногда нумерацию коэффициентов многочлена начинают с начала записи выражения (1), и тогда общий вид многочлена f (х) запи­сывают так:

Одночлен ах n тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда а = 0.

Поскольку равенство одночленов

aх n = bх n (2)

а 2 m = 2 • 2 •. • 2 (m раз), то равенство 2 n = 2 m возможно только тогда, когда n = m.

Таким образом, из тождественного равенства ax n = bx m (a 0, b 0) по­лучаем, что a = b и n = m.

Если известно, что ax n = 0 для всех х, то при х = 1 получаем a = 0. Поэтому одночлен ax п тождественно равен нулю при a = 0 (тогда ax n = 0 • x n = 0).

Далее любой одночлен вида 0 • х n будем заменять на 0.

Т е о р ем а 2. Если многочлен f (x) тождественно равен нулю (то
есть принимает нулевые значения при всех значениях х), то все
его коэффициенты равны нулю.

Для доказательства используем метод математической индукции.

При n = 0 имеем f (х) = a₀ = 0, поэтому a₀ = 0. То есть в этом случае утверждение теоремы выполняется.

Докажем, что данное утверждение выполняется и при n = k + 1. Пусть

поэтому наше утверждение выполняется и при n = k + 1. Таким образом, утверждение теоремы справедливо для любого целого неотрицательно­го n, то есть для всех многочленов.

Определение 2. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, обычно называ­ют нулевым многочленом, или нуль-многочленом, и обозначают 0 (х) или просто 0 (поскольку 0 (х) = 0).

Теорема 3. Если два многочлена f (x) и g (x) тождественно равны,
то они совпадают (то есть их степени одинаковы и коэффициенты при одинаковых степенях равны).

Теорема 3 является основанием так называемого метода неопределенных коэффициентов. Покажем его применение на следующем примере.

Пример. Докажите, что выражение (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 является полным квадратом.

Данное выражение может быть записано в виде многочлена четвертой степени, поэтому оно может быть полным квадратом только многочлена второй степени вида ах 2 + bх + с (а ≠ 0).

Раскрывая скобки в левой и правой частях этого тождества и приравни­вая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему равенств. Этот этап решения удобно оформлять в следующем виде:

2-4-6 + 2-4-8 + 2-6-8 + 4-6-8 = 2bc

1. Зная, что многочлены f (x) и g (x) тождественно равны, найдите значение
коэффициентов а, b, с, d:

3. Докажите тождество:

2)1+х 4 =(1+х +х 2 )(1-х +х 2 ).
4. Докажите, что данное выражение является полным квадратом:

5. Найдите такие а и b, чтобы при любых значениях х выполнялось равенство: 3х 4 + 4х 3 + 8х 2 + 3х + 2 = (3х 2 + ах + 1)(х 2 + х + b).

6. Запишите алгебраическую дробь 2/15х 2 +x-2 как сумму двух алгебраических дробей вида a/3x-1 и b/5x+2

10.2. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ

Сложение и умножение многочленов от одной переменной выполняется с помощью известных правил сложения и умножения многочленов. В ре­зультате выполнения действий сложения или умножения над многочлена­ми от одной переменной всегда получаем многочлен от той же переменной.

Из определения произведения двух многочленов вытекает, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей, а свободный член произведения равен произведению свободных членов множителей. Отсюда получаем, что степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

При сложении многочленов одной степени можно получить многочлен этой же степени или многочлен меньшей степени.

При сложении многочленов разных степеней всегда получаем многочлен, степень которого равна большей из степеней слагаемых.

Деление многочлена на многочлен определяется аналогично делению це­лых чисел. Напомним, что число а делится на число b (b≠ 0), если суще­ствует такое число q, что а = b • q.

Определение 3. Многочлен А (х) делится на многочлен В (х) (где В (х) —не нулевой многочлен), если существует такой многочлен Q (x), что

Как и для целых чисел, операция деления многочлена на многочлен вы­полняется не всегда, поэтому во множестве многочленов вводится операция деления с остатком

Разделить с остатком многочлен А (х) на многочлен В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) — это означает найти такую пару многочленов Q (x) и R (x), что А (х) = В (х) • Q (x) + R (x), причем степень остатка R (x) меньше степени делителя В (х) (в этом случае многочлен Q (х) называют неполным частным.)

Иногда деление многочлена на многочлен удобно выполнять «уголком», как и деление многозначных чисел, пользуясь следующим алгоритмом:

Алгоритм. При делении многочленов от одной переменной переменные в делимом и в делителе размещают по убыванию степеней и делят старший член де­лимого на старший член делителя. Потом полученный результат умножают на делитель, и это произведение вычитают из делимого. С полу­ченной разностью выполняют аналогичную операцию: делят ее старший член на старший член делителя и полученный результат снова умножа­ют на делитель и т. д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не по­лучится в остатке 0 (если один многочлен делится на другой) или пока в остатке не получится многочлен, степень которого меньше степени делителя.

Докажем, что полученный результат действительно является результа­том деления А (х) на В (х) с остатком.

Если обозначить результат выполнения первого шага алгоритма через f₁ (x), второго шага — через f₂ (x), третьего — через f₃ (x), то операцию деления, выполненную выше, можно записать в виде системы равенств:

Сложим почленно равенства (1), (2), (3) и получим

Учитывая, что степень многочлена f₃ (x) = х + 4 меньше степени делителя

Очевидно, что приведенное обоснование можно провести для любой пары многочленов А (х) и В (х) в случае их деления столбиком. Поэтому описанный выше алгоритм позволяет для любых делимого А (х) и делителя В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) найти неполное частное Q (x) и остаток R (x).

То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Для любой пары многочленов А (х) и В (х) (где В (х) — не нулевой многочлен) существует и притом единственная пара многочленов
Q(x) и R(x), такая, что А(х)=В(х)*Q(x) + R(x), причем сте-
пень R (x) меньше степени В (х) (или R (x) — нулевой многочлен).

Отметим, что в случае, когда степень делимого А (х) меньше степени дели­теля В (х), считают, что неполное частное Q (x) = 0, а остаток R (x) = А (х).

1.Выполните деление многочлена на многочлен:

2. Выполните деление многочлена на многочлен с остатком:

3.При каких значениях а и b многочлен А (х) делится без остатка на мно­гочлен В(х)?

4.Найдите неполное частное и остаток при делении многочлена А(х) на многочлен В(х) методом неопределенных коэффициентов:

10.3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ФОРМУЛЫ ВИЕТА

Рассмотрим деление многочлена f (x) на двучлен (х – а). Поскольку степень делителя равна 1, то степень остатка, который мы получим, должна быть меньше 1, то есть в этом случае остатком будет некоторое число R. Таким образом, если разделить многочлен f (x) на двучлен (х – а), то получим

Это равенство выполняется тождественно, то есть при любом значении х. При х = а имеем f (а) = R. Полученный результат называют теоремой Безу.

Те о р е м а 1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена f (х) на двучлен (х – а) равен f (а) (то есть значению многочлена при х = а).

Задача 1. Докажите, что х 5 – 3х 4 + 2х 3 + 4х – 4 делится на х – 1 без остатка.

О п р е д е л е н и е. Число α называют корнем многочлена f (x), если f (α) = 0.

Если многочлен f (х) делится на (х – α), то α — корень этого многочлена.

Справедливо и обратное утверждение. Оно является следствием теоремы Безу.

Т е о р е м а 2. Если число α является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на двучлен (х – α) без остатка.

Обобщением теоремы 2 является следующее утверждение.

Принимая во внимание равенство (1), которое выполняется согласно предположению индукции, получаем:

Это означает, что f (х) делится на произведение

то есть теорема доказана и при n = k + 1.

Таким образом, теорема справедлива для любого натурального n.

С л е д с т в и е. Многочлен степени n имеет не больше n разных корней.

Если раскрыть скобки в правой части равенства (2) и приравнять коэффициенты при старших степенях, то получим, что b = а_n, то есть

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества (3), получаем соотношения между коэффициентами уравнения и его корнями, которые называют формулами Виета:

Например, при n = 2 имеем:

Например, если произведение (х + 2) 3 (х – 1) 2 (х + 3) записать в виде многочлена, то для этого многочлена число (–2) является корнем кратности 3, число 1 — корнем кратности 2, а число (–3) — корнем кратности 1.

При использовании формул Виета в случае кратных корней необходимо каждый корень записать такое количество раз, которое равно его кратности.

Задача 2. Проверьте справедливость формул Виета для многочлена

f (x) = х 3 + 2х 2 – 4х – 8.

Поэтому f (х) имеет корни: α₁ = 2, α₂ = –2, α₃ = –2 (поскольку (–2) — корень кратности 2). Проверим справедливость формулы (5).

Как видим, все равенства выполняются, поэтому формулы Виета справедливы для данного многочлена.

Задача 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения х 2 – 8х + 4 = 0.

По формулам Виета имеем х₁ + х₂ = 8 и х₁х₂ = 4. Отсюда находим, что

Таким образом, искомое уравнение имеет вид х 2 – 56х + 16 = 0.

Упражнения

f (х) = х 5 – 5х 4 + 7х 3 – 2х 2 + 4х – 8?

10.4. СХЕМА ГОРНЕРА

Делить многочлен f (x) на двучлен (х – а) иногда удобно с помощью специальной схемы, которую называют схемой Горнера.

Как видим, первый коэффициент неполного частного равен первому коэффициенту делимого. Остальные коэффициенты неполного частного и остаток находятся одинаково: для того чтобы найти коэффициент b_{k + 1} неполного частного, достаточно предыдущий найденный коэффициент b_k умножить на а и добавить k-й коэффициент делимого. Эту процедуру целесобразно оформлять в виде специальной схемы-таблицы, которую называют схемой Горнера.

Пример 1. Разделите по схеме Горнера многочлен f (х) = 3х 4 – 2х 3 – 4х + 1 на двучлен х – 2.
Запишем сначала все коэффициенты многочлена f (х) (если в данном многочлене пропущена степень 2, то соответствующий коэффициент считаем равным 0), а потом найдем коэффициенты неполного частного и остаток по указанной схеме:

Таким образом, 3х 4 – 2х 3 – 4х +1 = (х – 2)(3х 3 + 4х 2 + 8х + 12) + 25.

Пример 2. Проверьте, является ли х = –3 корнем многочлена f (х) = 2х 4 + 6х 3 + 4х 2 – 2х – 42.

Поскольку f (–3) = 0, то х = –3 — корень многочлена f (х).

Упражнения

1) А (х) = х 3 + 3х 2 + 3х + 1; В (х) = х + 1;

2) А (х) = 5х 3 – 26х 2 + 25х – 4; В (х) = х – 5;

3) А (х) = х 4 – 15х 2 + 10х + 24; В (х) = х + 3.

1) f (х) = 4х 3 – х 2 – 27х – 18; q (x) = x + 2;

2) f (х) = х 4 – 8х 3 + 15х 2 + 4х – 20; q (x) = x – 2.

1) А (х) = 2х 3 – 19х 2 + 32х + 21; В (х) = х – 7;

2) А (х) = 4х 3 – 24х 2 + 21х – 5; В (х) = 2х – 1.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1

4 (МТУСИ). Решите уравнение:

5 (МЭСИ). Решите систему уравнений:

8 (СТАНКИН). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет точно три корня.

9 (МГАТХТ). Найдите все значения параметра а, при которых система урав­нений не имеет решений.

10 (МГУ, ИСАиА). Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

11 (МИСиС). При каких значениях параметра а неравенство

выполняется для всех отрицательных значений х?

12 (МГУ, мех.-мат. ф-т). При каких значениях параметра а уравнение

имеет точно три различных корня?

Решите задачи (14–25) на составление уравнений или неравенств и их систем.

14 (МГТУ). Рабочий должен был по плану изготовить за несколько дней 72 детали. Так как каждый день он изготавливал на 2 детали меньше плана, то закончил работу через 3 дня после срока. Сколько деталей в день должен был изготовлять рабочий по плану?

15 (МГУ, хим. ф-т). Три одинаковых комбайна, работая вместе, убрали пер­вое поле, а затем два из них убрали второе поле (другой площади). Вся работа заняла 12 часов. Если бы три комбайна выполнили половину всей работы, а затем оставшуюся часть сделал один из них, то работа заняла бы 20 часов. За какое время два комбайна могут убрать первое поле?

16 (РЭА). Производительность первого станка на 25 % больше производи­тельности второго станка. Второй станок сделал деталей на 4 % больше, чем первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на выполнение своей работы, больше времени первого станка?

17 (ГФА). Первая из труб наполняет бассейн водой в два раза быстрее, чем другая. Если половину бассейна наполнить только из первой трубы, а оставшуюся часть — только из второй, то для наполнения бассейна потребуется 6 час. За сколько часов можно наполнить бассейн только из первой трубы?

18 (МГУПБ). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, и встреча­ются через час. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же ско­ростью, и первый прибывает в пункт В на 1,5 часа раньше, чем второй в пункт А. Определить скорость первого велосипедиста.

19 (МГУПБ). В течение 7 ч 20 мин судно прошло вверх по реке 35 км и вер­нулось обратно. Скорость течения равна 4 км в час. С какой скоростью судно шло по течению?

20 (ПГУ). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и полу­чили 600 г 15 %-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

21 (ВШЭ). Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Из­вестно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определить, сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.

22 (МАИ). Найти такое двузначное число, в котором число его единиц на два больше числа десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

23 (ЛТА). Около дома посажены березы и липы, причем общее их количе­ство более 14. Если количество лип увеличить вдвое, а количество берез увеличить на 18, то берез станет больше. Если увеличить вдвое количе­ство берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько берез и сколько лип было посажено?

24 (МГУ, эк. ф-т, ВШЭ). Группу людей пытались построить в колонну по 8 человек в ряд, но один ряд оказался неполным. Когда ту же группу людей перестроили по 7 человек в ряд, то все ряды оказались полными, а число рядов оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей построили по 5 человек в ряд, то рядов было бы еще на 7 больше, причем один ряд был бы неполным. Сколько людей было в группе?

25 (МГУ, эк. ф-т). В магазине продаются гвоздики и розы. Гвоздика стоит 1 руб. 50 коп., роза — 2 руб. На покупку гвоздик и роз можно затратить не более 30 руб. 50 коп. При этом число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возмож­ное суммарное количество цветов, при этом гвоздик нужно купить как можно меньше. Сколько гвоздик и сколько роз будет куплено при ука­занных условиях?

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →