Докажите что ad меньше ab bc cd

18.04.202222.04.2022 admin 0 Comments

Докажите что ad меньше ab bc cd

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC имеем

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому Значит, Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит,

По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем: откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Проведем две высоту трапеции BH — из вершины B и параллельную ей прямую EF проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора имеем а из треугольника BOF: Тогда высота трапеции а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.

Приведем решение пункта б), присланное читателем сайта.

Так как AB = BC = CD, эти хорды стягивают равные дуги. Значит, По теореме синусов для треугольника ABC имеем: откуда

Опустим высоту BH на основание AD. Тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что ad меньше ab bc cd

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что окружность, построенная на отрезке AB как на диаметре, проходит через точку O.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 3 : 4.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,

Отрезок AB виден из точки O под углом 90°. Следовательно, точка O принадлежит окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре.

б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x