Докажите что частное q и остаток r определены единственным образом

Листок №28 19.04.2011

Деление с остатком

Теорема 28.1. Для любого целого числа a и любого натурального числа b существуют

единственная пара целых чисел q и r таких, что a = bq + r и 0 r b.

В этом случае число q называется неполным частным, а целое неотрицательное число

r называется остатком от деления a на b.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. Сначала докажем, что для любого целого a и натурального b числа q и r существуют, а потом то, что они определяются единственным образом.

СУЩЕСТВОВАНИЕ. Возьмем числовую прямую с отмеченной на ней точкой 0 — началом отсчета. Также отметим на ней число a. Начнем откладывать в обе стороны от точки 0 отрезки длины b и отмечать их концы. На прямой помимо a появятся точки. 3b, 2b, b, 0, b, 2b, 3b. Поскольку точка a находится на каком-то конкретном расстоянии от начала отсчета, то в некоторый момент очередной отложенный отрезок длины b «накроет» ее. В итоге точка a либо окажется между точками qb и (q + 1)b — концами очередного отрезка, либо совпадет с одним из них, будем считать, что с qb. Значит можно записать следующее неравенство: qb a (q + 1)b. Уменьшая все части данного двойного a qb b. Если теперь в этом неравенстве обозначим неравенства на qb, получим 0 a qb = r, то получим 0 r b, и a = qb + r.

Тем самым мы показали, как можно найти числа q и r, удовлетворяющие условию теоремы. Теперь докажем, что данная пара чисел — единственная, удовлетворяющая условиям.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ. Предположим, что помимо пары чисел q и r существует еще пара чисел q и r, отличающаяся от первой хотя бы одним из чисел q или r, причем a = bq + r, 0 r b, a = bq + r, 0 r b.

Тогда bq + r = bq + r. Если в последнем равенстве q = q, то и r = r, что означает совпадение пар чисел q, r и q, r и противоречит предположению. Пусть q = q. Будем считать, что q q (случай q q полностью аналогичен). Из равенства bq + r = bq + r получаем r r = b(q q). Поскольку числа q и q — целые, q q, то q q 1, r r b.

С другой стороны числа r и r — неотрицательные и меньше b, поэтому их разность должна быть обязательно меньше b. Приходим к противоречию, значит предположение о существовании второй пары чисел q, r неверно. Единственность доказана.

Скажем теперь несколько слов по поводу этой теоремы. Собственно делить числа друг на друга с остатком учат еще в начальной школе. Однако данная теорема дает некоторые новые сведения и возможности. Во-первых, здесь четко определяется, что значит разделить одно число на другое с остатком, дается строгое определение неполного частного и остатка. Также доказывается, что такое деление можно провести всегда, причем единственным образом. Но более важный факт замете

В большинстве случаев начинают рассуждать следующим образом: «Поскольку остаток от деления 23 на 7 равен 2, а целое частное 3, это всем ясно, то в случае числа 23 получим остаток 2, а целое частное 3.» Но данный ответ неверный. Если вспомнить определение остатка, то он должен быть целым неотрицательным числом, меньшим 7, т.е.

может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и равняться 2 никак не может. После данного пояснения самым распространенным является ответ: «Ну тогда остаток будет 2, как и в случае числа 23.» Однако он тоже оказывается неверным.

Начнем рассуждать исходя из определения. Нам необходимо представить число 23 в виде 23 = 7q + r. Поскольку в этом равенстве r не может быть отрицательным, то 7q не может быть больше 23 и должно делиться на 7. Ближайшее не превосходящее 23 число, делящееся на 7, равно 28. Тогда 23 = 28 + 5 = 7 · (4) + 5, а значит остаток от деления 23 на 7 равен 5, целое частное равно 4.

Остатки обладают следующими замечательным свойствами:

Теорема 28.2. Пусть целые числа a1 и a2 при делении на натуральное число b дают остатки r1 и r2 соответственно. Тогда

а) остаток от деления a1 + a2 на b равен остатку от деления r1 + r2 на b;

б) остаток от деления a1 a2 на b равен остатку от деления r1 r2 на b;

в) остаток от деления a1 a2 на b равен остатку от деления r1 r2 на b.

Докажем какое-нибудь одно из утверждений, например б).

Доказательство. По условию числа a1 и a2 можно записать в виде a1 = bq1 +r1, a2 = bq2 + r2, тогда a1 a2 = b(q1 q2 )+r1 r2. С другой стороны, если остаток от деления a1 a2 на b равен r, то a1 a2 = bq +r, и верно неравенство 0 r b. Значит b(q1 q2 )+r1 r2 = bq +r откуда имеем: r1 r2 = bq b(q1 q2 ) + r = bQ + r. Поскольку в последнем равенстве Q — некоторое целое число, 0 r b, то это и означает, что остаток от деления r1 r2 на b равен r — остатку от деления a1 a2 на b.

Данная теорема позволяет существенно облегчить процесс нахождения остатков от деления некоторых числовых выражений.

Пример 2. Найти остаток от деления числа 59 · 60 · 61 62 на 7.

Поскольку остатки от деления чисел 59, 60, 61 и 62 на 7 равны соответственно 3, 4, 5 и 6, то искомый остаток равен остатку от деления числа 3 · 4 · 5 6 = 60 6 = 54 на 7, т.е. равен 5.

Для более короткой записи этого решения полезно знать следующее определение.

Определение 28.1. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю n, где n — натуральное число, если a и b дают один и тот же остаток при делении на n.

Обозначение: a b (mod n).

Определение 28.2. Пусть a и b — целые числа. Тогда b называется делителем a, если существует такое целое число q, что a = bq. В этом случае a называется кратным b, q — частным от деления a на b.

Обозначение: b|a, читается «b делит a.»

Заметьте, что определение делимости дается для целых чисел a и b, а в случае деления с остатком одно из чисел было натуральным. Если бы в определении деления с остатком число b могло принимать отрицательные значения, то неравенство 0 r b было бы невозможным. Несложно понять, что при положительных b верна следующая теорема.

Теорема 28.3. Натуральное число b является делителем числа a тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен 0.

28 11. Какие остатки может давать 13n при делении на 12?

28 12. Какие остатки может давать 2n2 + 11n + 19 при делении на n + 4 в зависимости от натурального значения n?

28 13. Докажите, что числа a и b сравнимы по модулю n тогда и только тогда, когда разность a b делится на n.

28 14. Пусть целые числа x, y, m, и n таковы, что x m (mod b) и y n (mod b).

Другими словами, докажите, что сравнения можно складывать, вычитать и перемножать.

28 15. Пусть z|x, z|y, и при этом x y (mod b). Верно ли тогда, что и x y (mod b)?

28 16. Какие остатки от деления на 3 могут давать а) целые числа; б) квадраты целых чисел?

28 17. Докажите, что из любых пяти целых чисел можно найти три, сумма которых делится на 3.

28 18. а) Существуют ли четыре таких натуральных числа, что сумма любых трех из них есть простое число? б) Существуют ли пять таких чисел?

28 19. Пусть сумма двух чисел делится на n, а остаток от деления одного из этих чисел на n равен r. Что можно сказать об остатках от деления а) второго числа на n? б) квадратов этих чисел на n? в) кубов этих чисел на n?

28 20. Докажите, что среди 31 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 60.

28 21. Назовем число n удобным, если n2 + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2. 1000000 четное число удобных.

«Представления журналистов о профессии и профессиональном сообществе Общий аналитический отчет по результатам научноисследовательских работ Комитет гражданских инициатив Оглавление Введение Методология исследования Рабочие термины и категории Описание выборки Степень разработан. »

«Министерство образования и науки Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего Форма профессионального образования Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Налоги и налогообложение Дисциплина: Современн. »

«*** Какой печальный, мрачный март, какой сырой И мощный ветер пронизал нагие кроны! Оголодавшие хрипят в ветвях вороны, Дурные новости пророча вперебой. И млечный день течет куда-то, и в снегу С улыбкой ласковою падаль обнажилась, И время тянется, но жизнь остановилась, И шестерни ее застыли на бегу. Хотя есть звук, но. »

«|^Ш1Ш111ШШШУ1ЙИ i. • ••• • H I : i i ••• V I P10-94-493 А.А.Вовенко, Ю.А.Кретов, С.В.Семашко, А.Г.Скрипничук ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ЕХАТАРЕ ДЛЯ ДОСТУПА К УСТРОЙСТВУ НАКОПЛЕНИЯ ДАННЫХ ЕХВ-8500 НА КОМПЬЮТЕРАХ ТИ. »

«“АСАУ” – 6(26) 2003 УДК 621.924.229.86 А.Г. Кику, В.М. Бурлаков О.С. Аглоткова УЛУЧШЕНИЕ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ Статья посвящена решению задач улучшения качества несмещенной эффективной фильтрации переменных состояния динамических объектов на основе линейных процедур. Ана. »

«Все оригинальные аксессуары к вашей технике на одной странице Lenovo TAB3 10 Business Safety, Warranty & Quick Start Guide Lenovo TB3-X70F Lenovo TB3-X70L іі English/Русский/ Русский Внимательно прочитайте это руководство перед использованием Lenovo TAB3 1. »

«Partner Tepee (B9) ­ B2FB010VP0 ­ Моменты затяжки : Приводные валы Стр. 1 из 2 М ОМ ЕНТЫ ЗАТЯЖК И : ПРИВОДНЫЕ ВАЛЫ 1. Рекомендации ВНИМ АНИЕ : Затянуть гайки приводных валов С помощью динамометрического ключа. 2. М оменты затяжки : Гайки Опора приводного вала Болт приводного вала Опора приводного вала М одели Моменты затяжки Угловая затяжк. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Источник

Деление с остатком. Существование и единственность деления с остатком.

Отыскание пары чисел q и r для заданных чисел а и в, для которых выполняется равенство а=в·q+r называется делением с остатком числа а на число в.

Теорема. Для любой пары чисел а и в существует единственная пара чисел q и r, для которых выполняется равенство а=в· q+r 0≤r в, тогда можно найти целый ряд чисел, которые являются произведением в·q, в·1, в·2, в·3, в·4, в·q, в· (q+1). И в данном случае а либо равно одному из перечисленных чисел ряда, тогда выполняется деление на целое число, либо расположено между двумя числами, тогда выполняется деление с остатком. Пусть а расположено между числами: в·q≤а в. Доказательство. 1) докажем, что если а>в, то разность а-в существует. По условию а>в, а значит по определению отношения «больше» существует натуральное число с, такое, что а=в+с. Фактически это значит, что число с всегда существует, а из равенства а=в+с следует по определению разности, что существует натуральное число с=а-в. 2) Докажем, что если существует разность а-в, то а>в. По определению разности чисел а и в существует такое натуральное число с, что выполняется равенство а=в+с, отсюда по определению отношения «больше» следует что а>в.

Теорема. Если разность а-в существует, то она находится единственным образом. Доказательство. Допустим противное: пусть

а-в=с | отсюда по определению разности получается а=в+с | в+с=в+с₁

Из свойства аддитивности суммы получаем с=с₁, т.о разность находится единственным образом.

Свойства разности. 1. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Доказательство: обозначим разность а-(в+с)=к, тогда по определению разности

2. Вычитание числа из суммы: (а+в)-с=а+(в-с). Обозначим разность в-с=х, в=с+х (а+в)-с=(а+(с+х))-с=(а+с+х)-с=а+х+с-с=а+х=а+(в-с)

3. Вычитание разности из числа. а-(в-с)=(а-в)+с

4. Вычитание суммы из суммы. (а+с)-(в+с)=а-в

5. Вычитание разности из разности. (а-с)-(в-с)=а-в

Частным натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию: а=в*с.

Деление часто называют операцией, обратной умножению.

Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы а≥в. Данный признак не является достаточным, т.е. из условия а≥в не всегда находится а и в.

Доказываем: 1) докажем, что если частное существует, то а≥в. По условию частное двух чисел существует, тогда по определению частного, выполняется равенство а+в*с, где с≥1. Домножим последнее неравенство на в, т.к в число натуральное, то знак неравенства сохранинся. в·с≥1·в в·с≥в а≥в.

2) Докажем, что если частное а:в существует, то оно находится единственным образом. Допустим противное, пусть существуют два числа с1 и с2, которые являются частным чисел а и в. тогда по определению частного

а=в·с1 а=в·с2 Þ в·с1=в·с2Þс1=с2.

Свойства деления. 1. Деление суммы на число: (а+в):с=а:с+в:с.

3. Деление произведения на число (а·в):с=(а:в)·в.

Существуют и другие свойства.

25. Признаки делимости на 2 и 5, на 3 и 9, на 4 и 25.Любое натуральное число можно представить в виде суммы разнорядных слагаемых:

Признак делимости на 4 и 25. Если число, образованное двумя последними цифрами в записи данного числа а, делится на 4 или 25, то и все число будет делиться на 4 и 25. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых

В данной сумме каждое слагаемое кроме последних двух содержит степень числа 10, которая будет делиться на 4 или 25. Последние два слагаемых а₁*10 1 +а₀ есть число записанное двумя последними цифрами в записи данного числа а, а значит, если сумма а₁*10 1 +а₀ делится на 4 или 25, то и все число а будет делиться на 4 или 25.

Признак делимости на 3. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 3, то и все число будет делиться на 3. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

Рассмотрим разрядные единицы или степени числа 10 и представим каждое из них по теореме делимости с остатком в виде равенств.

Заменим в данном числе каждую степень числа 10 на полученные суммы:

первое слагаемое в данной сумме, записанное в первой скобке, будет делиться на 3 по достаточному признаку делимости суммы, т.к. каждое из слагаемых, записанных в первой скобке, содержит множитель 3 и по достаточному признаку делимости произведения будет делиться на 3. Значит, для того чтобы все число а делилось на 3 достаточно, чтобы второе слагаемое, записанное во второй скобке, делилось на 3. Это второе слагаемое есть сумма цифр в записи данного числа.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 9, то и все число делится на 9. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых.

Рассмотрим разрядные единицы (степень числа 10). Каждая разрядная единица при делении на 9 дает в остатке 1, тогда по теореме о делимости с остатком, каждую степень числа 10 представим в виде равенства:

Заменим степень числа 10 полученными равенствами, тогда:

По достаточному признаку делимости произведения каждое слагаемое записанное в первой скобке делится на 9, следовательно по достаточному признаку делимости суммы все выражение записанное в первой скобке, будет делиться на 9. Значит, для того, чтобы все число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы выражение, записанное во второй скобке, делилось на 9. Это выражение есть сумма цифр в записи данного числа.

27. Отношение делимости во множестве целых неотрицательных чисел. Свойства делимости.Число а находится в отношении делимости, если существует натуральное число с такое, что а=в*с. Теорема. Отношение делимости является отношением нестрогого порядка. Доказательство. Чтобы доказать, что отношение делимости является отношением нестрогого порядка следует доказать, что оно рефлексивно, ассиметрично, транзитивно. 1) Докажем рефлексивность. а находится в отношении делимости с а (а:а). По определению делимости существует такое натуральное число с=1, а=а*1, а значит свойство рефлексивности выполняется. 2). Докажем, что отношение делимости ассиметрично. а:в, в:а, то а=в. Если а находится в отношении делимости с в (а:в), то существует с, которое а=в*с. Если в:а, то по определению делимости существует натуральное число к, такое, что в=а*к.

а=в*с=(а*к)*с=а*(к*с) это возможно если к*с=1→к=1 с=1

3). Докажем, что отношение делимости транзитивно а:в, в:с, то а:с. Если а:в, то существует такое натуральное число д, где а=в*д. Если в:с, то существует такое натуральное число к, что в=с*к а=(с*к)*д=с*(к*д). Так как к и д натуральные числа, то их произведение есть число натуральное. Обозначим произведение чисел к и д черезм (к*д=м). а=с*м, м принадлежит N, то по определению отношения делимости а находится в отношении делимости с с.

Теорема. Достаточный признак делимости суммы. Если каждое слагаемое в заданной сумме делится на число в, то и вся сумма будет делиться на это число. Доказательство. Пусть дана сумма чисел S=а₁+а₂+а₃+…+а_н.

Теорема. Достаточный признак делимости разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на данное число, то вся разность будет на это число делиться.

Теорема. Если в сумме одно слагаемое не делится на число в, а все остальные слагаемые на это число делится, то и вся сумма на данное число делиться не будет.

Теорема. Достаточный признак делимости произведения. Если в произведении один из множителей делится на заданное число, то и все произведение будет делиться на заданное число. Дано: а:с, доказать (а*в):с. Если а:с→, что существует натуральное число к, что а=с*к, к принадлежит N. Найдем произведение а и в. а*в=(с*к)*в=с*(к*в). Получили, что по определению делимости произведение чисел а и в делится на с, т.к существует такое натуральное число (к*в)=м, что а*в=с*м.

а-в=(сq₁+r₁)-(сq₂+r₂)=(сq₁-сq₂)+(r₁-r₂)=с(q₁-q₂)+(r₁-r₂) с(q₁-q₂) – делится на с по достаточному признаку делимости произведения. (r₁-r₂) – делится на с по условию. Следовательно по достаточному признаку делимости суммы (а-в) также будет делиться на с. Докажем обратное. Дано (а-в):с, доказать (r₁-r₂):с (а-в)=(сq₁+r₁)-(сq₂+r₂)=(сq₁-сq₂)+(r₁-r₂)=с(q₁-q₂)+(r₁-r₂) r₁-r₂=(а-в)-с(q₁-q₂). В данной разности уменьшаемое делится на с по условию, вычитаемое делится на с по достаточному признаку делимости произведения. Значит по достаточному признаку делимости разности разность остатков r₁ и r₂ будет делиться на с.

r₁ r₂=ав-с(q₁ сq₂+q₁ r₂+r₁ q₂). В данной разности уменьшаемое делится на с по условию. Вычитаемое делится на с по достаточному признаку делимости произведения, а значит, по достаточному признаку делимости разности произведения остатков r₁ r₂ будут делиться на с.

28. Простые и составные числа. Свойства множества простых чисел. Отношение делимости разбивает множество целых неотрицательных чисел на классы.

1 класс – множество чисел, которые имеют бесконечно много делителей. Данный класс состоит из одного числа 0 (ноль).

2 класс – множество чисел, которые имеют 1 и только 1 делитель. Этот класс состоит из одного числа 1.

3 класс – множество чисел, имеющих только 2 делителя. Это числа, которые делятся только на себя и на 1. эти числа называются простыми.

4 класс – числа, имеющие более 2-х делителей. Эти числа называются составными. Делители данного числа равны 1 или самому числу, называют несобственными делителями. Все остальные делители называются собственными делителями данного числа. Множество делителей любого числа конечно.

Свойства простых чисел.

1. Во множестве простых чисел существует единственное четное число – 2. Все другие четные числа составные.

2. Если простое число р делится на число а, то а=р или а=1.

3. Если простое число р₁ не равно простому числу р₂, то р₁ не делится на р₂. Доказательство этого свойства вытекает из свойства 2.

4. Для любого натурального числа больше 1 существует простое число р, такое что данное число делится на р.

5. Если произведение нескольких множителей делится на простое число р, то хотя бы один из этих множителей делится на число р.

6. Если произведение нескольких простых чисел делится на простое число р, то хотя бы один из этих множителей равен этому простому числу.

29. Понятие дроби и рационального числа. Сложение и вычитание рациональных чисел. Их свойства. Запись вида м/н называется дробью, где м и н натуральные числа. Класс равносильных друг к другу дробей называется рациональным числом. Классы равносильных дробей составляют множество рациональных чисел. Дробь является записью рационального числа.

— одно рациональное число.

Суммой двух положительных рациональных чисел называется положительное рациональное число вида .

Свойства сложения. 1. Коммутативное

определение сложения

опред коммут умнож коммут сложен

2. Ассоциативность

Найдем значение левой и правой части данного равенства:

Раскроем скобки в числителе используя дистрибутивное свойство сложения относительно умножения Используя ассоциативное, коммутативное и дистрибутивное свойства умножения получим

.

3. Рациональное число 0 является нейтральным элементом для операции сложения во множестве рациональных чисел, т.е а/в+0=0+а/в=а/в. Число 0 можно представить в виде дроби вида 0/н. .

4. Для любого рационального числа вида а/в существует единственное число –а/в такое, что их сумма равна 0.

Разностью двух положительных рациональных чисел а/в и с/д называется рациональное число м/н, которое в сумме с рациональным числом с/д равно рациональному числу а/в. , так как операция сложения выполняется всегда и определяется однозначно, то и операция вычитания во множестве рациональных чисел будет выполнима и определяется однозначно. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.

30. Умножение и деление дробей. Их свойства. Произведением двух положительных рациональных чисел а/в и с/д называется дробь м/н, в которой м=а*с, н=в*д.

Свойства умножения. 1. Коммутативное. . Найдем по коммутативному свойству умножения натуральных чисел получаем по определению умножения .

2. Ассоциативность умножения.

Опред умнож опред умнож ассоциат свойс опред умнож опред умнож

3. Дистрибутивное

Опред умнож дистрид св.умн N правило делен суммы на число

Использ ассоциат умн опред произвед дробей

4. Единица является нейтральным элементом для умножения рациональных чисел. Во множестве рациональных чисел единицу можно представить в виде дроби м/м.

Частным двух положительных чисел есть положительное рациональное число вида . Для частного не выполняется свойство коммутативности и ассоциативности.

31. Десятичные дроби. Действия над конечными десятичными дробями. Периодические дроби. Десятичной дробью называется дробь со знаменателем равным степени числа 10, записываемой в десятичной системе счисления. .

Свойства десятичных дробей. 1. Из двух рядом стоящих цифр в записи десятичной дроби левая цифра имеет разрядную единицу в 10 раз больше, чем правая цифра. 2. Приписывание нулей к десятичной дроби и отбрасывание нулей в конце десятичной дроби не изменяет ее значение. 3. Умножение десятичной дроби на 10 н достигается переносом запятой на н цифр вправо. Деление десятичной дроби на 10 н достигается переносом запятой на н цифр влево. Цифры после запятой называются десятичными знаками, а число перед запятой – целой частью числа. 4. Десятичные дроби сравниваются также как и натуральные числа. Из двух десятичных дробей та больше, у которой целая часть больше. Если целые части равны, то та дробь больше, у которой первый десятичный знак больше. Среди десятичных дробей выделяют дробь 0,01 и называют ее процентом и обозначают 1%.

Действия над десятичными дробями. Чтобы сложить две десятичные дроби нужно записать их таким образом. Чтобы целая часть второй дроби была подписана под целой частью первой дроби, а каждый десятичный знак второй дроби под соответствующими десятичными знаками первой дроби. Далее дроби складывают как натуральные числа. Если число десятичных знаков в одной из дробей больше. Чем в другой, то нужно дописать соответствующее количество нулей той дроби, у которой их меньше. Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Чтобы перемножить две десятичные дроби нужно выполнить умножение не обращая внимание на запятые. В полученном произведении отделить запятой такое количество десятичных знаков, которое равно сумме десятичных знаков в обоих множителях. Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую нужно в делителе отбросить запятую, а делимое увеличить во столько раз, во сколько увеличился делитель. Дальше проводится деление по правилам деления натуральных чисел.

Теорема. Если дробь а/в несократимая, а в разложении на простые множители знаменателя в есть простые числа, отличные от 2 и 5, то дробь а/в представима в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Доказательство. Так как по условию в разложении знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то процесс деления а на в бесконечен. При делении а на в получаются остатки, которые по теореме о делении с остатком меньше в, т. е они равны 1, 2, 3, 4 и т. д, в-1. Поскольку множество различных остатков конечно, то, начиная с некоторого шага какой-то остаток повториться, что повлечет за собой повторение знаков в записи частного, следовательно бесконечная десятичная дробь, представляющая число а/в, обязательно будет периодической. Число, представимое в виде бесконечной десятичной периодической дроби, называется рациональным числом. Чтобы превратить бесконечную десятичную чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числителе записать период, а в знаменателе столько 9, сколько цифр в периоде. 0,(3)=3/9=1/3 0,(45)=45/99=5/11 Чтобы превратить бесконечную десятичную смешанную периодическую дробь в обыкновенную нужно, в числителе записать разность между числом, записанным от запятой до начала второго периода и числом, являющимся предпериодом, а в знаменателе столько 9, сколько цифр в периоде и столько нулей, сколько цифр в предпериоде. 13,5(8)=13 58-5/90

32. Действительные числа. Действия над действительными числами.(начало смотри вопрос 5). Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что диагональ АС соизмерима со стороной Ав, т.е. существует отрезок, который укладывается равное число раз в отрезке АВ и в отрезке АС. Пусть в АВ выбранный отрезок уложился

Д С н раз, а в АС – м раз. Построим на диагонали

АС новый квадрат АСЕФ. Найдем площадь

м обоих квадратов и сравним их. S_АСЕФ=2 S_АВСД

м 2 =2н 2 м 2 /н 2 =2 (м/н) 2 =2

А н В Е Пусть дробь м/н не сократимая, тогда м может

2 н быть четным числом. Пусть м=2к

4к 2 =2н 2 2к 2 =н 2 →н 2 кратно 2, а значит и н

кратно 2. Получили, что м и н кратно 2, а

Ф значит дробь м/н – сократимая. Мы предположили, что она не сократима, получили противоречие, а значит, отрезки АС и АВ несоизмеримы. →их нельзя измерить рациональным числом.

Теорема. Среди положительных рациональных чисел не существует числа, квадрат которого равен 5. Выберем числовую прямую и построим на ней прямоугольник со

А В

0 1 С2 Д 3 Х

сторонами, равными двум и одному единичным отрезкам. Найдем длину диагонали ОВ по теореме Пифагора ОВ 2 =ОС 2 +CВ 2 ОВ 2 =4+1 ОВ 2 =5→ОВ=√5.

С помощью циркуля найдем проекцию отрезка ОВ на числовую ось Х и находим Д. Отрезок ОВ=ОД. Точка Д находится между 2 и 3. т.е. ей соответствует рациональное число, обозначим его дробью а/в, тогда а/в=√5. Разделим отрезок от 2 до 3 на 10 равных частей: 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9. Возведем в квадрат каждое из этих чисел и среди этих квадратов выберем 2 числа, между которыми находится число 5. 2,2 В. 2). При сложении двух однородных величин получается величина того же рода. 3). Однородные величины можно умножать на натуральное число, положительное действительное число, так что в результате получится величина того же рода. 4). Величины одного рода вычитают, определяя разность через сумму. Разностью величин А и В называется такая величина С, для которой справедливо равенство А=В+С. 5). Величины одного рода можно делить друг на друга, устанавливая, во сколько раз одна величина больше другой.

Измерение величин заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу измерения. Если дана величина А и выбрана единица измерения Е, то в результате измерения находят такое положительное действительное число Х, для которого справедливо равенство А=Х*Е. Измерение величины позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, которые их выражают. Если величины А и В измерены при помощи одной и той же единицы измерения, то отношения между величинами А и В будут такими же как и отношения между их численными значениями. Численные значения величины А при выбранной единицы измерения Е обозначают m_e a. a=b → m_e a=m_eb a>b → m_e a>m_eb

Если величины А и В измерены при помощи единицы измерения Е, то чтобы сложить эти величины достаточно сложить их численные значения. Если величины А и В таковы, что В=Х*А, где Х действительное положительное число, то для нахождения Х достаточно численное значение В разделить на численное значение А. m_e b : m_ea

Величины, которые характеризуются только числом, называются скалярными. Величины, которые характеризуются числом и направлением, называются векторными. Величины, являющиеся скалярными и обладающие свойством аддитивности называются аддитивно-скалярными. Свойства адитивности. Для любых натуральных чисел а, в, с из того, что а=в→а+с=в+с. Аддитивно-скалярные величины допускают неограниченное дробление предметов и явлений на части. Величина целого предмета или явления складывается из величин его частей. Примером аддитовно-скалярных величин являются длина, масса, площадь и т.д. Понятия величины появилось в математике гораздо раньше, чем понятие число. Впервые ввел аксиоматику величин Колмогоров. Основные свойства. 1). Величины линейно упорядочены. Для любых величин х₁ и х₂ выполняются условия х₁=х₂, x₁>x₂, х₁ x₂ и x₂>x₃→что x₁>x₃. 3). Величины обладают свойством аддитивности, причем, сумма как результат операции сложения определяется единственным образом. 4). Операция сложения для величин обладает свойством коммутативности. х₁+х₂=х₂+х₁. 5). Операция сложения для величин обладает свойством ассоциативности. х₁+(х₂+х₃)=(х₁+х₂)+х₃. 6). Сумма двух или нескольких величин больше любого из слагаемых. 7). Существует операция обратная действию сложения, которая называется вычитание. 8). Для любой аддитивно-скалярной величины х₁ и положительного действительного числа н найдется величина х₂, такая, что х₁=х₂*н. 9). Для любых величин х₁ и х₂ существует положительное действительное число н, такое, что х₁*н>х₂.

34. Длина и ее свойства. Длина – это свойства объектов действительного мира характеризующие их протяженность на плоскости. Длиной отрезка называют положительную величину, определенную для каждого отрезка таким образом, что 1) равные отрезки имеют равные длины, 2) если отрезок состоит из конечного числа непересекающихся отрезков, то его длина равна сумме длин отрезков его составляющих. Свойство длины. 1). При выбранной единицы измерения длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа найдется отрезок, длина которого выражается этим числом. Из данного свойства следует, что между длиной отрезка и положительным действительным числом установлено взаимно однозначное соответствие. Докажем данное свойство. Пусть дан отрезок А и единичный отрезок Е. На отрезке А от одного из его концов отложим последовательно отрезки равные Е до тех пор, как это возможно. При таком откладывании отрезка Е возможно 3 случая получения результата:

—отрезок Е отложится так, что конец отрезка А совпал с концом последнего отрезка Е. в этом случае длина отрезка А выражается натуральным числом.

—отрезок Е отложился н раз в отрезке А и остался отрезок А₂>Е. Разделим отрезок Е на 10 равных частей, получим единичный отрезок Е₁, если при откладывании отрезка Е₁ конец отрезка А совпадет с концом отрезка Е₁ то отрезок имеет длину, выраженную десятичной дробью. Если отрезок Е₁ не укладывается в отрезке А. разобьем его на 10 равных частей и новый единичный отрезок Е₂ будем укладывать, продолжая процесс далее какой-либо из полученных единичных отрезков уложится равное число раз в отрезке А и тогда длина отрезка А будет выражена положительным рациональным числом.

—возможно, что при делении отрезка Е для откладывания его частей в отрезке А длина отрезка будет выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, т. е. иррациональным числом.

Из трех рассмотренных случаев получаем, что длина отрезка выражается натуральным числом, положительным рациональным или положительным иррациональным числом. Все перечисленные числа принадлежат множеству положительных действительных чисел, а значит, длина отрезка выражается положительным действительным числом. Докажем обратное. Любое положительное действительное число может быть выражено либо натуральным числом, либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной десятичной дробью. Для данных чисел на числовой прямой всегда можно найти отрезок, длина которого будет равна этому числу, т. к. между точками числовой прямой и множеством действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, то всегда для любого положительного действительного числа будет существовать отрезок, длина которого равна этому числу.

2). Если два отрезка равны, то и численные значения их длин так же равны. Верно и обратное утверждение. Доказательство: из того, что отрезок А=В→, что, откладывая выбранный единичный отрезок Е в каждом из них, мы получим одно и тоже число А. Следовательно, равные отрезки имеют и равные длины.

3). Если дан отрезок, который равен сумме нескольких не перекрывающих отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков, его составляющих. Доказательство. Пусть даны отрезки А₁ и А₂. Составим отрезок А, равный сумме этих отрезков. Чтобы найти значение длины отрезка А, вначале нужно измерить отрезок А₁, а затем в тех же единицах измерения измерить отрезок А₂. Получим, что длина отрезка А равна сумме численных значений длин отрезков А₁ и А₂. Т. к. в процессе измерения все действия выполнялись однозначно, то данное свойство доказано.

4). Если длины отрезков А и В таковы, что В=Х*А, где Х положительное действительное число и длина А измерена при помощи единицы измерения Е, то чтобы найти численное значение длины В, при единицы измерения Е достаточно число Х умножить на численное значение длины отрезка А.

5). При замене единицы длины чисел, значение этой длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

В школьном курсе математике за единицу длины выбран 1 см. В международной системе единиц – 1 м.

35. Площадь фигуры и ее свойства. Площадь – это свойство предмета занимать место на плоскости. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определяемая для каждой фигуры так, что 1) равные фигуры имеют равные площади, 2) если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме площадей фигур ее составляющих. Площадь фигуры – это аддитивно-скалярная величина. Для нее выполняются все аксиомы, перечисленные в аксиоматике Колмогорова.

Аксиома 1 выполняется, т.к. любые фигуры можно сравнивать, указывая, какая из них занимает большее, меньшее, одинаковое место на плоскости. Аксиома 2 так же выполняется и площадь удовлетворяет отношению транзитивности. Если S₁>S₂ и S₂>S₃→S₁>S₂. Аксиома 3. Для площади определена операция сложения и выполняется свойство аддитивности. Если мы разобьем фигуру на несколько частей, не обязательно равные, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей. Аксиома 4 и 5 для площади выполняется, т.к. для сложения площадей справедливы коммутативность и ассоциативность. Аксиома 6 выполняется, т.к. площадь фигуры всегда больше, чем площадь ее части. Аксиома 7 выполняется, т.к. для площади выполняется действие вычитания. И по заданной площади всей фигуры можно найти площадь фигуры ее составляющей, которая находится только вычитанием. Аксиомы 8 и 9 выполняются, т.к. для каждой из двух фигур всегда можно найти во сколько раз площадь первой фигуры больше или меньше площади другой фигуры. И как бы не была мала фигура А₁ и как бы не была велика фигура А₂, всегда найдется такое число м, что м*А₁>А₂.

Свойства площади. Если две фигуры совпадают при наложении, т.е. равны, то равны и численные значения их площадей при одной и той же единицы измерения. Если фигура А составлена из фигур А₁, А₁, …А_н, то численное значение S_А=S_А1+S_А2+…+S_Ан

Это правило хорошо использовать для фигур, которые можно разбить на части, площадь которых удобнее вычислить. Это же правило подходит и для измерения площади фигур, которые относятся к равносоставленным или к равно дополненным. Две фигуры называют равновеликими, если их площади равны. Две фигуры называются равносоставленными, если они при наложении не совпадают, но их удается разбить на такие фигуры, которые равным образом составляют их. Если две фигуры можно разложить на одинаковое число попарно равных фигур, то их называют равносоставленными. Если две фигуры дополняют другими фигурами так, что они становятся равновеликими, то данные фигуры называются равнодополненными. Численное значение площади всегда выражается положительным действительным числом. При замене единицы площади, численное значение увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения меньше (больше) старой.

Источник