Докажите что число является составным

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

math4school.ru

Простые и составные числа

Немного теории

Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Приведём некоторые свойства простых чисел.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей.

Простых чисел бесконечно много.

Если p – простое, и p делит a·b, то p делит a или b.

Mалая теорема Ферма. Если p – простое, a – натуральное, то a p – a делится на p.

Теорема Вильсона. Натуральное p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p – 1)! + 1 делится на p.

Постулат Бертрана. Если n > 1 – натуральное, то существует простое p, такое, что n 1 – целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел.

Теорема Ферма. Каждое простое число вида 4k + 1 есть сумма двух квадратов натуральных чисел.

Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1 или 6k – 1, где k – некоторое натуральное число.

Число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, большим 2.

Число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, большим 1.

Задачи с решениями

1. Три простых числа, каждое из которых больше 10, образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что разность прогрессии делится на 6.

Все данные простые числа нечётные, поэтому их разность делится на 2. Покажем, что она делится и на 3. Пусть данные числа a, a + d, a + 2d. Ни одно из них не делится на 3, поэтому при делении на 3 даёт остаток или 1, или 2. Следовательно, по крайней мере, два из этих чисел дают при делении на 3 одинаковые остатки. Разность этих чисел, равная d или 2d, делится на 3. Поскольку 2 на 3 не делится, то d делится на 3. Итак, разность прогрессии, которая делится на взаимно простые числа 2 и 3, делится на 6, что и требовалось доказать.

2. Докажите, что для произвольного натурального числа n найдётся натуральное m такое, что nm + 1 – составное число.

Можно выбрать m = n + 2, тогда

nm + 1 = n(n + 2) + 1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2

является составным числом.

3. Найдите все целые числа n, для которых модуль значения трёхчлена n 2 – 7n + 10 будет простым числом.

|n 2 – 7n + 10| = |n –2| · |n – 5|,

то следует искать такие n при которых один из множителей последнего произведения равен 1, а второй является простым числом. Этому требованию удовлетворяют n = 3 и n = 4.

4. Докажите, что если числа

а) m и m 2 + 2 простые, то число m 3 + 2 тоже простое;

б) р, р – 10, р + 10 простые, то число р – 2 тоже простое.

а) Любое простое число m, отличное от 3, можно представить в виде 3n+1 или в виде 3n–1, где n – некоторое натуральное число. В первом случае можно записать

m 2 + 2 = 9n 2 + 6n +3,

m 2 + 2 = 9n 2 – 6n +3,

Так как m > 2, то в любом случае число m 2 +2 больше 3 и делится на 3, а значит является составным. Следовательно, число m 2 +2 может быть простым, только если m = 3. В этом случае m 2 +2 = 11 – простое число, m 3 +2 = 29 – тоже простое число, что и требовалось доказать.

б) Так как р – 10 = (р – 1) – 9 и р + 10 = (р + 1) + 9, то числа р – 10 и р – 1 при делении на 3 имеют одинаковые остатки, и числа р + 10 и р + 1 при делении на 3 имеют одинаковые остатки.

Из трёх последовательных чисел р – 1, р, р + 1 одно и только одно делится на 3. С учётом выше сказанного, то же утверждение верно для чисел р – 10, р, р + 10. Так как эти числа простые, то р – 10 = 3 и р = 13, поэтому р – 2 = 11 – простое число, что и требовалось доказать.

5. Сколько раз входит двойка в разложение на простые множители произведения

Ответ на поставленный вопрос получим из следующих преобразований:

6. Найдите все простые p такие, что число p 2 + 11 имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).

Если p > 5 и простое, то числа p – 1 и p + 1 оба четные, и одно из них кратно трем. Поэтому произведение (p – 1)(p + 1) делится на 12, следовательно, p 2 + 11 также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число p 2 + 11 > 12 ). Осталось проверить p = 2 и p = 3.

Если p = 2, то p 2 + 11 = 2 2 + 11 = 15 имеет 4 делителя (1, 3, 5, 15).

Если p = 3, то p 2 + 11 = 3 2 + 11 = 20 имеет 6 делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).

7. Найти все натуральные числа n, для которых каждое из шести чисел

n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15

Рассмотрим варианты. Для n = 1 число n + 3 = 4 составное.

Для n = 2 число n + 7 = 9 составное.

Для n = 3 число n + 1 = 4 составное.

Для n > 4 все наши числа больше 5 и по крайней мере одно из них делится на 5, так как числа 1, 3, 7, 9, 13 и 15 при делении на 5 дают соответственно остатки 1, 3, 2, 4, 3 и 0, то есть все возможные остатки, откуда следует, что и числа

n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 и n + 15

при делении на 5 дают все возможные остатки и, следовательно, хотя бы одно из них делится на 5 и как число, большее пяти (так как n > 4), является составным.

Но для n = 4 мы получаем простые числа 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

8. Доказать, что каждое простое число вида 4k + 1 является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются натуральными числами.

9. Сколькими способами можно раскрасить круг, разбитый на р равных секторов с помощью n красок, если р – простое число и каждый сектор раскрашиваем одной краской? Две раскраски, совпадающие при повороте круга, считаем одинаковыми.

Каждый сектор можно раскрасить в любой из n цветов, поэтому для круга с р секторами получим n p раскрасок, среди которых (n p – n) не одноцветных. Каждая из этих раскрасок поворотами переходит в (р – 1) одинаковую с ней, значит, существенно различных не одноцветных раскрасок будет (n p – n)/p, откуда общее число раскрасок равно n + (n p – n)/p.

10. Доказать, что для любого простого числа p > 5 уравнение х 4 + 4 x = p в целых числах не имеет решений.

Докажем, что если для некоторого целого значения х число

является целым, то это число либо не превосходит пяти, либо является составным.

Действительно, если х 4 + 4 0 4 + 4 1 = 5.

Если x = 2k (k – натуральное число), то число

f(x) = 2 4 k 4 + 4 2k = 2 4 ( k 4 + 4 2(k–1) )

Наконец, если x = 2k + 1 (k – натуральное число), то число

f(x) = x 4 + 4·4 2k = (x 4 + 4x 2 (2 k ) 2 + 4(2 k ) 4 ) – 4x 2 (2 k ) 2 =

= (x 2 + 2(2 k ) 2 ) 2 – (2·x·2 k ) 2 =

= (x 2 + 2·x·2 k + 2(2 k ) 2 )·( x 2 – 2·x·2 k + 2(2 k ) 2 ) =

= ((x + 2 k ) 2 + 2 2k )·((x – 2 k ) 2 + 2 2k )

так же является составным, поскольку каждый из двух сомножителей последнего произведения больше 1 (ибо 2 2k > 1 при k > 0).

Таким образом, если число p > 5 простое, то равенство х 4 + 4 x = p не выполняется ни при каких целых значениях х.

Задачи без решений

1. Известно, что р, р + 10, р + 14 – простые числа. Найдите число р.

2. Докажите, что число

3. Найдите все простые р для которых число р 2 + 14 так же будет простым числом.

4. Докажите, что уравнение х 2 + х + 1 = р·у имеет решение в целых числах (х, у) для бесконечного числа простых р.

5. Введём обозначение для суммы первых n простых чисел через S_n:

Докажите, что между числами S_n и S_n+1 всегда существует число, являющееся полным квадратом.

Источник

Лекция 8. 22.04.20.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Лекция 8. Простые и составные числа. Их свойства

Определение. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится только на себя и на 1 (т. е. имеет ровно два разных делителя). На­туральное число называется составным, если оно имеет более 2 разных делителей.

Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а число 18 – составное (1, 2, 3, 6, 9, 18 – его делители). Число 1 имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.

Таким образом, множество целых неотрицательных чисел N₀ можно разделить на четыре непересекающихся подмножества:

1) <0>– множество, состоящее из одного элемента, числа 0:;

2) <1>– множество, состоящее из одного элемента, числа 1;

1) Если простое число p делится на натуральное число q ≠ 1, то q совпадает с числом p (q = p).

Доказательство. Действительно, если бы число p делилось на q и не совпа­да­ло с числом q, то оно имело бы три делителя: 1, p, q, что противоречит опре­делению простого числа. Поэтому p = q.

2) Если p и q – разные простые числа, то p не делится на q.

Доказательство. Поскольку p – простое число, то оно делится только на 1 и p. По условию p ≠ q и q – простое число, значит, q ≠ 1. Отсюда следует, что p не делится на q.

3) Всякое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель, причем этот делитель наименьший.

Доказательство. Если число а – простое, то таким делителем числа а является само это число.

Последнее неравенство противоречит условию, что d – наименьший делитель числа а. Значит, допущение о том, что число d – составное, ошибочно.

Таким образом, наименьший делитель натурального числа а – всегда простое число.

Доказательство. Пусть число а – составное и d – его наименьший простой делитель (он существует на основании свойства 3).

Число 381 – составное, поскольку делится на 3 по признаку делимости.

Решето Эратосфена

Эратосфен – древний греческий ученый математик и астроном, который жил в III в. до н. э. Считают, что он первый составил таблицу простых чисел. В древ­ности греки писали палочками на восковых досках. Записав некоторую после­до­вательность натуральных чисел, Эратосфен прокалывал дырку, где стояли состав­ные числа. Составные числа как бы «просеивались», а оставались только простые. Дощечка выглядела подобно решету. Отсюда, возможно, и название метода Эратосфена отсеивать составные числа.

Решение. Запишем последовательность натуральных чисел от 2 до 40.

Источник

№ 636. ГДЗ Математика 5 класс Никольский. Помогите доказать, что число является составным.

Используя признаки делимости, докажите, что число:
а) 7690; 6)7395; в) 4256; г) 12 375; д) 12 321
является составным.

а) 7690 = 2 ∙ 3845 — составное
б) 7395 = 5 ∙ 1479 — составное
в) 4256 = 2 ∙2128 — составное
г) 12375 = 2475 ∙ 5 — составное
д) 12321 =3 ∙4107 — составное

Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра равны:
а) 18 см, 16 см, 5 см; б) 12 см, 45 см, 2 ( Подробнее. )

Самолёт поднялся в воздух в 14 ч 45 мин и приземлился в 17 ч 10 мин. Сколько времени он находился в полёте?

1. Через середину М сторони АВ трикутника АВС проведено площину, яка паралельна, прямій АС і перетинає сторону ВС у точці N. Довести NM ( Подробнее. )

Привет…Не могу справиться с ответом на такой вопрос…может кто поможет, а?
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной ( Подробнее. )

Привет пользователи! Окажите пожалуйста услугу…ответить помогите….
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, ( Подробнее. )

Источник

Урок по математике 5класс «Простые и составные числа_35»

Сценарии уроков по учебнику «Математика, 5 класс», часть 1

Тема: «Простые и составные числа».

1) формировать способность к рефлексивному анализу собственной деятельности: к фиксированию собственных затруднений по теме «Простые и составные числа», выявлению их причин и построению проекта выхода из затруднений;

2) повторить и закрепить понятия простого и составного чисел, использование этих понятий для решения задач; нахождение делителей числа; решение двойных неравенств; построение формул зависимостей между величинами; упрощение выражений.

Определение составного числа:

Число а составное, если у а больше двух делителей.

Определение простого числа:

Число а простое, если D (а) = <1; a >

Таблица простых чисел.

1) самостоятельная работа № 1.

1) Запишите множество делителей числа 54 и выберите из него подмножество А простых делителей.

2) Найдите множество простых решений неравенства 1 ≤ у

3) Докажите, что каждое из чисел 46, 105, 129 является составным.

1) Запишите множество делителей числа 42 и выберите из него подмножество В простых делителей.

2) Найдите множество простых решений неравенства 2 ≤ х

3) Докажите, что каждое из чисел 34, 147, 156 является составным.

2) подробный образец выполнения самостоятельная работа № 1.

2) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17.

2) 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19.

3) эталон для самопроверки самостоятельной работы № 1.

1) D (54) = <1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54>; A = <2; 3>. Простые числа – это числа, у которых только два делителя.

2) Решения неравенства: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18. Простые числа из множества решений: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17. Только два делителя

3) D (46) = <1; 2; …46>; Что бы доказать, что число составное надо указать больше двух делителей: 1, само число и какой ни будь ещё делитель

1) D (42) = <1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42>; B = <2; 3; 7>. Простые числа – это числа, у которых только два делителя.

2) Решения неравенства: 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22.

Простые числа из множества решений: 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19. Только два делителя

D (34) = <1; 2; …34>; Что бы доказать, что число составное надо указать больше двух делителей: 1, само число и какой ни будь ещё делитель

5) дополнительное задание.

6) подробный образец выполнения дополнительного задания.

Простые однозначные числа: 2; 3; 5; 7

а) 11 × 2 = 22; б) 13 × 2 = 36; в) 17 × 2 = 34; г) 19 × 2 = 38; д) 23 × 2 = 46; е) 29 × 2 = 58;

11 × 3 = 33; 13 × 3 = 39; 17 × 3 = 51; 19 × 3 = 57; 23 × 3 = 69. 29 × 3 = 87.

11 × 5 = 55; 13 × 5 = 65; 17 × 5 = 85. 19 × 5 = 95.

11 × 7 = 77. 13 × 7 = 91.

7) самостоятельная работа № 2.

1) Запишите множество делителей числа 34 и выберите из него подмножество А простых делителей.

2) Найдите множество простых решений неравенства 13

3) Докажите, что каждое из чисел 26, 35, 111 является составным.

8) эталон для самопроверки самостоятельной работы № 2.

1) D (34) = <1; 2; 17; 34>; A = <2; 14>. Простые числа – это числа, у которых только два делителя.

2) Решение неравенства: 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27.

Простые числа из числа решений: 17; 19; 23. Только два делителя

3) D (26) = (1; 2; …26> Что бы доказать, что число составное надо указать больше двух делителей: 1, само число и какой ни будь ещё делитель

9) задания для выбора.

1. Выпишите все делители числа, подчеркните простые делители: 1) 194 2) 21; 3) 30; 4) 1104 5) 210.

2. Простым или составным числом будет произведение:

1) 23 × 1; 3) 4 × 7; 5) 59 × 1;

2) 16 × 1; 4) 11 × 13; 6) 1 × 216.

3. При каких значениях а выражение 19 × а будет простым числом? Составным числом?

10) Таблица фиксации результатов.

11) карточка для этапа рефлексии.

1) У меня сегодня всё получалось, я не допускал ошибок;

2) Я допустил ошибки в первой самостоятельной работе (перечислить ошибки);

3) Я исправил допущенные ошибки в процессе работы над ними;

4) Я не смог самостоятельно исправить ошибки, но исправил их с помощью эталона;

5) Я без ошибок справился со второй самостоятельной работой;

6) Во второй самостоятельной работе я допустил ошибки (перечислить их);

7) Я выполнил дополнительное задание (перечислить выполненные номера);

8) В дополнительном задании я допустил ошибки (перечислить их);

9) Мне необходимо поработать над…

1. Самоопределение к деятельности.

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока: простые и составные числа.

Организация учебного процесса на этапе 1:

— Здравствуйте, ребята! Давайте вспомним, какие понятия мы ввели на прошлых уроках. (Ввели понятия простого и составного чисел; учились определять, является ли число простым; учились доказывать, что число является составным.)

— Сегодня на уроке мы посмотрим, насколько хорошо вы разобрались с этим материалом. И если у кого-то еще остались вопросы по этой теме, то, надеюсь, к концу урока вы их для себя решите. Давайте пожелаем друг другу успешной работы.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.

Цель этапа: актуализировать знания о простых и составных числах, способы определения вида числа; выполнить самостоятельную работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Фронтальная работа

На доске записаны числа: 8, 15, 13, 2, 56, 39, 101, 93, 68, 71, 23, 87, 44, 1, 29, 103.

1) Из записанных на доске чисел выпишите те, которые являются решением неравенства

Неравенство можно прочитать устно, а можно записать, открыть или вывесить на доске. Учащиеся могут работать в тетрадях или на индивидуальных планшетках.

— Какие числа выписали? (8, 15, 13, 2, 56, 39, 23, 44, 1, 29.)

На доске стираются числа, которые не являются решениями неравенства. Остаются только названные числа.

2) Подчеркните одной чертой простые числа.

— Какие числа подчеркнули одной чертой? (13, 2, 23, 29.)

Кто-то из учащихся может выйти и подчеркнуть эти числа на доске.

— Какие числа называются простыми? (Числа, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самого себя, называются простыми.)

Определение простого числа вывешивается на доску.

— Как можно определить, является ли число простым? (Используя таблицу простых чисел.)

3) Подчеркните двумя чертами составные числа.

— Какие числа подчеркнули двумя чертами? (8, 15, 56, 39, 44)

Кто-то из учащихся подчеркивает эти числа на доске.

— Какие числа называются составными? (Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными.)

Определение составного числа вывешивается на доску.

— Как можно доказать, что число является составным? (Число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, не равный ни ему самому, ни 1; число является составным, если его можно разложить на два множителя, не один из которых не равен 1.)

4) Докажите, что каждое из чисел, подчеркнутых двумя чертами, является составным.

Учащиеся работают устно.

(Число 8 является составным, так как его можно разложить на множители 2 и 4; число 15 является составным, так как оно имеет делитель 5 и т.д.)

5) Почему число 1 осталось вообще не подчеркнутым? (Число 1 не является ни простым, ни составным.)

— Почему? (Число 1 имеет единственный делитель.)

— Теперь вам предлагается написать самостоятельную работу.

После выполнения работы:

— Что вы должны сделать, прежде, чем проверить работу по образцу? (Надо проверить правильность записи задания.)

— Если окажется, что при переписывании вы допустили ошибку, что надо сделать? (Надо правильно записать задание и заново решить его, а потом проверить по образцу.)

3. Локализация затруднения.

Цель этапа: указать место в задании, где допущена ошибка, определить понятие, при использовании которого допущена ошибка, уточнить цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3:

Уточняется схема выхода из затруднения.

— Ребята, вы выяснили, верно, ли выполнено задание, если ошибок нет, что вы должны сделать? (Проверить свою работу по эталону.)

— Если при проверке по эталону ошибок не будет, что вы можете выполнять? (Дополнительные задания.)

Учащиеся, не допустившие, ошибки проверяют работу по эталону и выполняют задание № 443.

С теми учащими, которые допустили ошибки организовать диалог по локализации затруднения.

— Какой следующий шаг вы должны сделать после проверки работы и фиксации результатов? (Надо найти место ошибки и понять её причину.)

— Что, значит, понять причину ошибки? (Определить на какое правило допущена ошибка.)

— Если вы можете определить причину ошибки, что вы должны сделать? (Повторить правило, на которое допущена ошибка, переделать задание и проверить решение по эталону для самопроверки.)

— А если вы не можете определить причину ошибки? (Нужно определить на какое правило или определение дано задание, повторить это правило или определение и исправить, допущенную ошибку.)

— Что дальше вы должны сделать? (Проверить по эталону для самопроверки).

— Если, вы не можете определить, какое понятие используется для выполнения задания, что вы будете делать? (Проверять работу по эталону, исправить ошибку.)

— Сформулируйте цель своей дальнейшей деятельности. (Определить причину ошибки, зафиксировать соответствующее правило и исправить ошибку.)

— Можно считать, что если вы исправили ошибки, то задания такого типа вы уже сможете решить? (Нет, надо придумать аналогичное задание или выбрать из предложенных учителем заданий и решить его.)

— Что вам поможет выполнить работу над ошибками? (Схема выхода из затруднения.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа : уточнить понятие, при использовании которого допущены ошибки; исправить ошибки на основе правильного применения определения; придумать или выбрать из предложенных заданий на способы действий, в которых допущены ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Учащиеся самостоятельно выполняют работу над ошибками, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. Если им удаётся самостоятельно исправить ошибку, они заполняют четвёртый столбик таблицы. После того, как учащиеся исправили свои ошибки, им предлагается придумать, или выбрать, из предложенных заданий задания аналогичные тем, в которых были допущены ошибки и выполнить эти задания.

5. Обобщение причин затруднений во внешней речи.

Цель этапа: зафиксировать в речи определения, при использовании которых были допущены ошибки.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Учитель последовательно выясняет у кого из детей, при определении каких чисел были допущены ошибки и определения и способы распознавания вида числа проговариваются во внешней речи. В этой работе могут принять участие все учащиеся, можно организовать эту работу в парах, если ошибок было не много.

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверяем способность к выполнению заданий, которые на предыдущей самостоятельной работе вызвали затруднение; сопоставить полученное решение с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Выполните вторую самостоятельную работу.

Работа проверяется по эталону для самопроверки.

Пока учащиеся выполняют вторую самостоятельную работу, первая группа детей проверяют дополнительные задания по подробному образцу.

7. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа : тренировать навыки построения формул зависимостей; нахождения значения буквенного выражения.

Организация учебного процесса на этапе 7:

В таблице приведены соответствующие значения переменных х и у. Построй формулу, выражающую зависимость у от х.

Источник