Докажите что определитель матрицы равен нулю не вычисляя

Докажите что определитель матрицы равен нулю не вычисляя

Как показывают следующие две теоремы, существуют различные эквивалентные между собой условия равенства нулю определителя.

ТЕОРЕМА 5.9. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть . Докажем, что если строки матрицы А линейно независимы, то . В самом деле, если строки матрицы А линейно независимы, то, по теореме 2.8, ее можно представить в виде произведения элементарных матриц, т. е. По следствию Кроме того, по лемме 5.5, определитель любой элементарной матрицы отличен от нуля. Следовательно, . По закону контрапозиции, доказанное сейчас утверждение равносильно утверждению: если то строки матрицы А линейно зависимы.

Докажем теперь обратное утверждение: если строки квадратной матрицы А линейно зависимы, то . В самом деле, если первая строка матрицы А — ненулевая, то хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других строк этой матрицы. Следовательно, по свойству 4.7 определителей,

ТЕОРЕМА 5.10. Для любой квадратной матрицы А равносильны следующие четыре утверждения:

(а)

(b) строки (столбцы) матрицы А линейно независимы,

(c) матрица А обратима,

(d) матрица А представима в виде произведений, элементарных матриц.

Эта теорема непосредственно следует из теорем 5.9 и 2.8.

1. Пусть А и С — квадратные матрицы, Докажите, что

2. Докажите, что а b с

где — различные корни третьей степени из единицы.

3. Вычислите определитель

5. Пользуясь только определением определителя, вычислите определитель треугольной матрицы А:

6. Сколько квадратных подматриц порядка имеет -матрица?

Источник

Доказательства свойств определителя

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов).

Доказательство:

Опр. Матрицы A_ji называется транспонированной матрицей A_ij

= det A = det A T

Выберем любое слагаемое из суммы определителя.

Следовательно определители равны.

Свойство №2: Если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Доказательство:

Пусть дана матрица, один столбец которой равен 0.

=detA подсчитаем определитель данной матрицы.

Подсчитаем определитель данной матрицы, используя правило равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям.

=0*а₂₂*а₃₃+а₁₂*а₂₃*0+а₃₂*а₁₃*0 = 0

=-(а₁₃*а₂₂*0+а₁₂*а₃₃*0+а₂₃*а₃₂*0)=0

Свойство №3: Если один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство:Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

,после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

Получили, что det A=-det B.

Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

Доказательство:

Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны a_ij+b_j и посчитаем её определитель.

.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

.

То есть: .

Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

Доказательство:

Пусть дан определитель detA≠0, содержащий две равные строки.

= detA ; =

Поменяем местами эти равные строки. Получим новый определитель.

.

Так как данный определитель получен из определителя detA перестановкой строк, то из предыдущего свойства следует, что полученный определитель принимает значение –detA. В то же время, количество слагаемых и модуль значений определителей detA и –detA равны, то справедливо будет равенство detA=-detA. Из данного равенства следует что detA=0. Свойство доказано.

Свойство №6: Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Доказательство:

Возьмём матрицу коэффициентов и посчитаем её определитель.

Прибавим к первому столбцу третий. Получим новую матрицу.

.

Посчитаем её определитель.

.

Свойство №7: Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

Доказательство:Возьмём матрицу и посчитаем её определитель.

То есть.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными

Определители очень широко используются при решении и исследовании систем линейных n уравнений с n неизвестными. Правило решения такой системы с помощью определителей называется правилом Крамера. Покажем это правило на примере.

Правило Крамера: правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных , где — определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а _I – определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.

Пусть дана система из трех уравнений с тремя неизвестными:

Посчитаем определитель матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:

После подсчета определителя системы, подсчитаем определители неизвестных. Для этого вырезаем из столбец данной переменной, а на его место ставим столбец свободного члена.

= = = 6 = 6 = 6*(4*2-(-2)*11)=180

Согласно правилу Крамера значение неизвестной переменной равно частному от определителя данной неизвестной и определителя системы. Значит переменная x_{1= ;} x₁= .

Действуя по тому же алгоритму, найдем значения переменных x₂ и x₃:

По правилу равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям матрицы получим:

= 2*11*4+3*11*(-1)+4*(-2)*3= 88-33-24=31 =60

-2*(-2)*11-3*4*4 – (-1)*11*3= 44-48+33=29

Значит x₂=

Значит x₃=

Для доказательства истинности правила Крамера, проверим полученные значения переменных, подставив полученные значения в систему:

После подстановки мы получили верное числовое равенство, значит, правило Крамера истинно для решения системы n уравнений с n неизвестными. Ответ: (3;1;1)

Глава 2.Векторное произведение

Источник