Докажите что площадь ромба равна половине произведения
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей
Здравствуйте!
Необходимо доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Как можно подробнее.
Спасибо!
Задание.
Доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 
Доказательство.
Построим ромб ABCD и проведем в нем диагонали АС и BD.
Необходимо доказать, что:
Диагонали параллелограмма (как и ромба, та как он и есть параллелограммом) пересекаются под прямым углом, а также при пересечении делятся пополам точкой пересечения (согласно свойству диагоналей). Получаем, что отрезки АО = CO и ВО = DO, углы между соседними из этих отрезков равны по 90 градусов. По свойству сторон ромба отрезки АВ, ВС, CD и AD равны.
Следовательно, треугольники АВО, СВО, CDO и ADO прямоугольные и равны по первому и третьему признаку.
Рассмотрим треугольник АВО.
Запишем формулу для вычисления площади этого треугольника через высоту и основание:
Как мы помним точка О делит диагонали ромба на две равные части, поэтому запишем:
Перепишем формулу площади АВО через диагонали ромба:
Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника с одинаковыми площадями. Тогда площадь ромба будет выражаться следующей формулой:
Мы получили, что площадь ромба действительно равна половине произведения диагоналей.
Доказательство завершено.