Докажите что при движении отрезок отображается на отрезок

Понятие движения (окончание)

Докажем следующую теорему:

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Источник

Докажите что при движении отрезок отображается на отрезок?

Докажите что при движении отрезок отображается на отрезок.

Свойства движения : 1.

Три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой.

3. Отрезок движением переводится в отрезок.

4. Движение соханяет меры углов.

5. Последовательное выполнение двух движений есть движение.

Доказательство свойства 3.

По свойству 2 прямая переходит в прямую, то прямая, содержащая отрезок, переходит в прямую, содержащую, отрезок.

А так движение сохраняет расстояние, от отрезок одной прямой переходит в равный ему отрезок другой прямой.

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол?

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C?

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C.

Докажите, что прямая AB параллельна прямой DE (Рисунок).

Отрезок am медиана треугольника abc причем ac>2am?

Отрезок am медиана треугольника abc причем ac>2am.

Докажите, что AB меньше AD.

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C?

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C.

Докажите, что прямая AB параллельна прямой DE (Рисунок).

Отрезок MN и EF пересекаются в их середине P?

Отрезок MN и EF пересекаются в их середине P.

Докажите что EN || MF.

Докажите что при движении перпендикулярные прямые отображаются на перпендекулярные прямые?

Докажите что при движении перпендикулярные прямые отображаются на перпендекулярные прямые.

Четырехугольник abcd параллелограмм?

Четырехугольник abcd параллелограмм.

Отрезок ac диагональ.

Докажите что треугольники abc и cda равны.

Решение смотри в файле.

84. Треугольник равнобедренныйравнобедренный, значит углы при основании равны и смежные в сумме дают 180°.

1. с помощью линейки. 2. визуально.

Проводи пунктир между ними и всо.

Немного хаотично, но думаю разберетесь.

Источник

Понятие движения

Урок 40. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие движения»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Повторим, что примерами отображения плоскости на себя является осевая и центральная симметрии.

У осевой симметрии есть одно очень важное свойство: осевая симметрия – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки M₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой a. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой a, прямая a перпендикулярна прямым MM₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NON₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведенными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

,

Таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M₁ и N₁. Мы с вами рассмотрели один случай расположения точек. Остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно и убедитесь, что и в остальных случаях эти расстояния будут равны.

Обобщая, можно сказать, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояние между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением или по-другому – перемещением.

Давайте сформулируем определение: движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему такое отображение называется движением? Если рассмотреть осевую симметрию, то она представляет собой поворот плоскости в пространстве на 180º вокруг оси А.

Нетрудно убедится в том, что центральная симметрия плоскости также является движением.

Рассмотрим точки М и N и точки M₁, N₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники MNO и M₁ON₁.

вертикальные

То есть и при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть при некотором движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки M₁ и N₁. Тогда нам надо доказать, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Возьмем на отрезке МN произвольную точку P. И построим соответствующую ей точку P₁.

Поскольку точка P – принадлежит отрезку МN, то можно записать, что

.

Поскольку при движении расстояние между точками сохраняется, то

Складывая покомпонентно два последних равенства, получим,

Поскольку точку P на отрезке MN мы выбирали произвольно, то, значит, все точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁. Теперь докажем, что в каждую точку P₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Пусть точка P₁ – произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка P при заданном движении отображается в точку P₁.

Тогда из этих соотношений и этого равенства получим,

Таким образом, теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать это следствие не сложно. Мы доказали, что при движении отрезок отображается в равный ему отрезок. То есть при отображении треугольника мы получим треугольник с равными сторонами, значит, полученный треугольник будет равен исходному по трем сторонам.

Задача. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

, ,

по следствию

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Итак, пусть при некотором движении две параллельные прямые a и b отображаются в прямые a₁ и b₁. Определим расстояние между параллельными прямыми. Для этого на прямой a возьмем произвольную точку a и проведем перпендикуляр из точки А на прямую b. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между параллельными прямыми a и b. Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми одинаково, в каком бы месте мы его не измеряли. То есть, если мы измеряем расстояние между прямыми в точке C, то оно будет равно отрезку AB. Отметим на прямых, в которые отобразились прямые a и b точки, соответствующие точкам А, B, C, D. Поскольку расстояния между точками сохраняется при движении, то расстояние между точками А₁, B₁, C₁, D₁ будет равно расстоянию между точками А, B, C, D соответственно. То есть расстояния между прямыми, которые получились в результате движения тоже одинаковое, где бы мы это расстояние не мерили, то есть эти прямые параллельны.

Задача. Доказать, что при движении: параллелограмм отображается на параллелограмм, трапеция отображается на трапецию, ромб отображается на ромб, прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

Решать эту задачу мы будем, используя предыдущие задачи, теорему и следствие. Мы с вами уже доказали, что равные отрезки отображаются в равные отрезки, параллельные прямые – в параллельные прямые, углы в равные им углы.

Зная все это, решение этой задачи становится очевидным. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, то они отобразятся в параллельные и равные отрезки.

Тогда получим, что параллелограмм отобразится в четырехугольник, стороны которого параллельны и равны. А такой четырехугольник является параллелограммом.

Аналогично, поскольку основания трапеции – параллельны, то они отобразятся в параллельные отрезки. Углы трапеции отобразятся в равные им углы, значит, трапеция отобразится в трапецию.

Стороны ромба попарно параллельны и равны, значит, у фигуры, в которую отобразится ромб стороны будут попарно параллельны и равны, то есть ромб отобразится в ромб.

Стороны прямоугольника попарно параллельны и равны, углы между сторонами равны 90º. Значит, при движении прямоугольник отобразится в четырех угольник, стороны которого попарно параллельны, равны, и углы между сторонами равны 90º. То есть прямоугольник отобразится в прямоугольник.

Стороны квадрата попарно параллельны и равны, значит у фигуры, в которую отобразиться квадрат стороны будут попарно параллельны и равны. Углы квадрата равны 90º, значит, и у фигуры, в которую отобразится квадрат углы будут по 90º. То есть фигура в которую отобразится квадрат – это квадрат.

Подведем итоги урока. Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие движения. Мы сказали, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Показали, что осевая и центральная симметрии являются движением. Доказали, что отрезок отображается на отрезок, параллельные прямые отображаются в параллельные прямые. Треугольник отображается в треугольник. Угол отображается на равный ему угол.

Источник

§ 1. Понятие движения

Отображение плоскости на себя

Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся находить красивые решения многих геометрических задач. Примеры таких решений вы найдёте в этой главе.

Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример такого отображения. В самом деле, пусть а — ось симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную точку М, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку М₁ относительно прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ₁, равный отрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка М₁ и будет искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная ей точка М₁ совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется точка М, этой же плоскости. При этом любая точка М₁ оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясно из рисунка 321.

Итак, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр симметрии. Каждой точке М плоскости сопоставляется точка М₁, симметричная точке М относительно точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том, что центральная симметрия плоскости также представляет собой отображение плоскости на себя.

Понятие движения

Осевая симметрия обладает следующим важным свойством — это отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

Поясним, что это значит. Пусть М и N — какие-либо точки, а М₁ и N₁ — симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323). Из точек N и N₁ проведём перпендикуляры NP и N₁P₁ к прямой ММ₁. Прямоугольные треугольники MNP и M₁N₁P₁ равны по двум катетам: МР = М₁Р₁ и NP = N₁P₁ (объясните, почему эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и M₁N₁ также равны.

Следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М₁ и N₁. Другие случаи расположения точек М, N и М₁, N₁ рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и в этих случаях MN = M₁N₁ (рис. 324). Таким образом, осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением (или перемещением).

Итак, движение плоскости — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют движением (или перемещением), можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким образом происходит такой поворот.

Отметим, что центральная симметрия плоскости также является движением (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом самостоятельно).

Докажем следующую теорему:

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁ Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф₁, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф₂, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф₂ = Ф₁ (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф₂ отображается в фигуру Ф₁. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложением. Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При движении g он отображается на равный ему треугольник А₁В₁С₁. По определению равных треугольников существует наложение ƒ, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁.

Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ. Предположим, что это не так. Тогда на плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при движении g отображается в точку М„ а при наложении ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u g сохраняются расстояния, то AM = А₁М₁, AM = А₁М₂, поэтому A₁M₁ = А₁М₂, т. е. точка А₁ равноудалена от точек М₁ и М₂ (рис. 328). Аналогично доказывается, что точки В₁ и С₁ равноудалены от точек М₁ и М₂. Отсюда следует, что точки А₁, В₁ и С₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку М₁М₂. Но это невозможно, так как вершины треугольника А₁В₁С₁ не лежат на одной прямой. Таким образом, отображения ƒ u g совпадают, т. е. движение g является наложением. Теорема доказана.

Задачи

1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости:

а) прямая, параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии;
б) прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается на себя.

1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:

а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол A₁O₁B₁, причём точки А, О, В отображаются соответственно в точки A₁, О₁, В₁. Так как при движении сохраняются расстояния, то ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Если угол АОВ неразвёрнутый, то треугольники АОВ и А₁О₁В₁ равны по трём сторонам, и, следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый (докажите это), поэтому эти углы равны.

1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.

1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением.

1155. АВС и А₁В₁С₁ — произвольные треугольники. Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁, С₁.

1156. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁. Докажите, что существует движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки А₁, В₁ и С₁, и притом только одно.

По условию задачи треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Это движение является единственным движением, при котором точки А, В и С отображаются соответственно в точки А₁, В₁ и C₁ (задача 1155).

1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма.

1158. Даны две прямые а и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью а.

1159. Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырёхугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?

1160 Даны точка О и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром О.

1161 Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник АВС при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?

Ответы к задачам

1151. Указание. Доказать методом от противного.

1154. Указание. Воспользоваться теоремой п. 119.

1155. Указание. Доказательство провести методом от противного (см. доказательство теоремы п. 119).

1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051.

1158. Указание. Сначала построить образы каких-нибудь двух точек прямой b.

1159. F — четырёхугольник.

1160. Указание. Задача решается аналогично задаче 1158.

Источник