Докажите что произведение двух последовательных натуральных чисел

Делимость суммы, разности, произведения

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 – 332; в) 2512·127.

Решение. а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 – 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2k·(2k + 1). Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1. Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2k + 1)·(2k + 2). Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3k·(3k + 1)·(3k + 2). Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3). Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4). Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k. Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3). Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1. Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4). Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2. Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5). Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3. Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6). Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n.

Решение. Преобразуем данное выражение: (2n – 1)3 – (2n – 1)= = (2n – 1)·(4n2 – 4n + 1 – 1) = 4n·(n – 1)·(2n – 1). Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n – 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·3k·(3k – 1)·(6k – 1). Это произведение делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·(3k + 1)·3k·(6k + 1). Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение 4n·(n – 1)·(2n – 1) будет иметь вид: 4·(3k + 2)·(3k + 2 –1)· (6k + 4 – 1)= 4·(3k + 2)·(3k +1)·(6k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 – взаимно простые числа, то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

. Это произведение делится на 9, т.к. первый множитель делится на 9.

Задача 25. Доказать, что четырехзначное число вида делится на 11.

Решение. Представим данное число в виде . Эта сумма делится на 11, т.к. и .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n3 – n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.

Источник

Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть представлено в виде 25к + 1, где к = 0 ; 1 ; 2 ;

Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел?

Запишите в виде буквенного выражения произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел.

Докажите, что число вида n?

Докажите, что число вида n!

Представимо в виде произведения двух натуральных чисел, различающихся между собой не более чем в два раза.

Запишите в виде буквенных выражений произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел?

Запишите в виде буквенных выражений произведение и сумму двух последовательных натуральных чисел.

Представляя число в виде произведения двух чисел, докажите что : 555?

Представляя число в виде произведения двух чисел, докажите что : 555.

777 делится на 111.

Запишите в виде буквенного выражения произведения и сумму двух последовательных натуральных чисел?

Запишите в виде буквенного выражения произведения и сумму двух последовательных натуральных чисел.

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛЮБЫХ ТРЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ДЕЛИТСЯ НА 6?

ДОКАЖИТЕ, ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛЮБЫХ ТРЕХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ДЕЛИТСЯ НА 6.

Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух больших чисел больше произведения двух меньших чисел на 28?

Найдите три последовательных натуральных числа, если произведение двух больших чисел больше произведения двух меньших чисел на 28.

Представляя число в виде произведения двух чисел, докажите что 555777делится на 111?

Представляя число в виде произведения двух чисел, докажите что 555777делится на 111.

Источник