Докажите что прямые ad и c1d1 a1d

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что прямые ad и c1d1 a1d

а) Заметим, что прямая A₁O₁ лежит в плоскости ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плоскости, то есть прямая B₁O₂ не лежит в плоскости ACC₁A₁ и не параллельна ей (B₁ и O₂ лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости). Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает плоскость ACC₁A₁. Покажем, что точка их пересечения не лежит на прямой A₁O₁, из этого будет следовать, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ — скрещивающиеся.

б) Введём систему координат с центром в точке A₁ так, что ось абсцисс направлена вдоль A₁D₁, ось ординат — вдоль A₁B₁, ось аппликат — вдоль A₁A (см. рис.). В этой системе координат: A₁(0; 0; 0), B₁(0; 1; 0), Пусть вектор

с концами на прямых O₁A₁ и B₁O₂ перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде и Имеем:

Ответ:

Укажем идею решения пункта а) методом координат, примененным при решении пункта б). Примем ребро куба за 1 (или за а), введем систему координат, найдем координаты точек А₁, В₁, О₁ и О₂, найдем уравнение плоскости А₁В₁О₁, подставим в это уравнение координаты точки О₂ и убедимся, что эта точка не лежит в данной плоскости.

Приведем решение пункта б) Андрея Белобородова без использования координат.

Рассмотрим плоскость СB₁D₁. Эта плоскость проходит через прямую B₁O₂ и параллельна прямой A₁O₁, поскольку прямая A₁O₁ параллельна прямой CO₃, лежащей в этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми B₁O₂ и A₁O₁ равно расстоянию от любой из точек прямой A₁O₁ до плоскости СB₁D₁.

Проведем в треугольнике O₃O₁C высоту O₁M. Заметим, что O₁M перпендикулярна B₁D₁, поскольку ее проекция O₃С₁ перпендикулярна B₁D₁. Таким образом, O₁M перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB₁D₁, следовательно, она перпендикулярна этой плоскости, и O₁M — искомое расстояние.

Здорово, что вы показываете метод координат, но можно найти расстояние между прямыми, исходя из данных, полученных в пункте а).

Прямая СО₃ параллельна А₁О₁. (При этом В₁О₂ лежит в одной плоскости с СО₃). Следовательно, расстояние между параллельным прямыми А₁О₁ и СО₃ будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми. Пусть Н середина А₁С₁. Рассмотрим треугольник А₁НО₁ и найдём высоту, проведённую из точки Н к стороне А₁О₁.

Правильно понимаем, что у вас точки O₃ и Н совпадают?

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из них до плоскости, в которой лежит другая. Но в вашем решении ищется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до некоторой параллельной ей прямой, лежащей в одной плоскости с другой из скрещивающихся прямых. Это разные расстояния.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

а) Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Тем самым, прямые KN и SA параллельны, треугольники NBK и SBA подобны, а что и требовалось доказать.

б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Пусть, далее, H — середина ВC. Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.). Прямая SA параллельна плоскости α, поэтому искомое расстояние от прямой SA до прямой КМ равно расстоянию между параллельными прямыми SA и QR.

Из подобия треугольников ALK и ABC получаем: Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT треугольника SHА в том же отношении 2 : 7, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SA и KM равно

Найдем длины сторон треугольника SHА: Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: Тогда:

Найденная длина отрезка AT превосходит длину ребра AS. Это означает, что точка T лежит на продолжении ребра SA за точку S (см. рис.). Это не меняет справедливости вычислений. Итак,

откуда находим

Ответ: б)

Приведем другое решение пункта б).

Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.

Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.

Заметим, что AR : RH = AK : KB = 2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.

Тогда

Заметим, что где O —основание высоты пирамиды, тогда

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 4. В треугольнике SAP: Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть четверть высоты HT:

Ответ: б)

Примечание: высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Высота этого треугольника проведенная к основанию PH есть высота пирамиды соединяющая вершину с центром основания, значит Тогда

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 8. В треугольнике SAP: Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть одна восьмая высоты HT:

Ответ: б)

Примечание: высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Высота этого треугольника проведенная к основанию PH есть высота пирамиды соединяющая вершину с центром основания, значит Тогда

Аналоги к заданию № 526340: 526536 Все

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.

а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.

а) Проведем (см. рис. 1), тогда — проекция на плоскость Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые и взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим (см. рис. 2), что треугольники и равны. Повернём на угол по часовой стрелке и совместим точку с точкой Сторона совместится со стороной а сторона — со стороной Поскольку после поворота на стороны и совместились, до поворота угол между ними был равен

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что и (из п. а), следовательно, а тогда K — проекция MB на плоскость Проекцией прямой на плоскость является сама прямая Осталось найти расстояние от K до

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники и подобны (см. рис. 3), поэтому откуда

Ответ:

Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.

В силу равенства треугольников MAB и углы MBA и равны. Поэтому сумма острых углов треугольника HKB равна сумме острых углов прямоугольного треугольника равны. Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →