Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобные треугольники

Два треугольника подобны, если об этом сказано в условии либо если это можно доказать по одному из признаков подобия треугольников.

Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

Два треугольника подобны, если между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равно одной и той же постоянной k, k — коэффициент подобия).

Как и в случае равных треугольников, важно правильно называть подобные треугольники: равные углы должны находиться на соответствующих позициях.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Определение подобных треугольников предполагает выполнение шести пар равенств (равенство трёх пар углов и пропорциональность трёх пар сторон). Признаки подобия позволяют сократить число равенств до 2-3 (для прямоугольных треугольников — до 1-2).

Свойства подобных треугольников

1) Периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Соответствующие линейные элементы подобных треугольников (медианы, высоты, биссектрисы и т.д.) относятся как их соответствующие стороны.

3) Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров:

Источник

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Источник

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Два треугольника подобны:

Из признаков подобия следует утверждения, которые удобно использовать в решении задач:

1°. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие в различных точках, отсекает треугольник, подобный данному.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 5

3°. Если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает на них пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне, т. е. если (см. рис. 5)

$$ AD=a, BC=b, MO=x, BO=p, OD=q.$$

$$1.\;\left.\beginBC\parallel AD\\\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup DOA\;(\mathrm<по>\;\mathrm<двум>\;\mathrm<углам>)\end\right|\Rightarrow\dfrac ba=\dfrac pq$$ (1)

$$2.\;\left.\beginMO\parallel AD\\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end\right|\Rightarrow\dfrac xa=\dfrac p$$. (2)

Результат этой задачи, как утверждение, верное для любой трапеции, следует запомнить.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 6

Из определения подобия фигур следует, что в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны. Так, отношение периметров подобных треугольников равно отношению длин соответствующих сторон. Или, например, в подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей (также и описанных окружностей) равно отношению длин соответствующих сторон. Это замечание поможет нам решить следующую задачу.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 7

Напомним, что площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих линейных элементов. Для треугольников это утверждение можно сформулировать так: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Рассмотрим характерную задачу на эту тему.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 8

Свойства медиан, высот, биссектрис треугольника

В наших заданиях 9-го и 10-го классов здесь повторяемые теоремы и утверждения были доказаны. Для некоторых из них мы напоминаем пути доказательств, доказывая их моменты и давая поясняющие рисунки.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 9

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения каждая медиана делится в отношении `2 : 1`, считая от вершины.

Теорема 2. Три медианы, пересекаясь, разбивают треугольник на `6` треугольников с общей вершиной, площади которых равны между собой.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 10

2. Площадь треугольника находим по формуле Герона:

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника). В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри треугольника.

Были доказаны также две леммы о высотах

1-ая лемма.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 11aРис. 11б

2-ая лемма.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 12aРис. 12б
Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 13

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Рис. 14Рис. 14а

Источник

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Предположим, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПусть серединой отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляется некоторая точка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— средняя линия треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отсюда
Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗначит, через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроходят две прямые, параллельные прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонычто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Предположим, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПусть серединой отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляется некоторая точка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— средняя линия трапеции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗначит, через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроходят две прямые, параллельные прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныМы пришли к противоречию. Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Аналогично можно доказать, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗаписывают: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 113). Докажем, что: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравных отрезков, каждый из которых равен Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысоответственно на Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельной прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытакже проходит через точку М и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Проведем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто по теореме Фалеса Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По теореме о пропорциональных отрезках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Таким образом, медиана Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекая медиану Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытакже делит медиану Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку BE = ВС, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытак, чтобы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

На рисунке 131 изображены треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых равны углы: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежат против равных углов Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто можно также сказать, что треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобен треугольнику АВС с коэффициентом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПишут: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите это свойство самостоятельно.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллелен стороне АС. Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Углы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как соответственные при параллельных прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Проведем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПолучаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо определению четырехугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— параллелограмм. Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Таким образом, мы доказали, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Следовательно, в треугольниках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткудаДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть Р1 — периметр треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныР — периметр треугольника АВС. Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонывыполняются условия Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, у которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтложим на стороне ВА отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравный стороне Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЧерез точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельную стороне АС (рис. 140).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Углы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— соответственные при параллельных прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныАле Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПолучаем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТаким образом, треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №1

Средняя линия трапеции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонывв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны а на продолжении стороны АС — точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Для того чтобы точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 153, а). Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Из подобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследует равенство Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем равенство

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежат на одной прямой.
Пусть прямая Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекает сторону ВС в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

На диагонали АС отметим точку К так, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если k = 1, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа следовательно, треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытак, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 160). Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Покажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если k = 1, то треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытакие, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 161). Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В треугольниках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Учитывая, что по условию Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Следовательно, треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— высоты треугольника АВС. Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
В прямоугольных треугольниках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныострый угол В общий. Следовательно, треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУгол В — общий для треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, треугольники АВС и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 167).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Для этой окружности угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляется центральным, а угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУглы ВАС и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как противолежащие углы параллелограмма Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто равнобедренные треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Докажем теперь основную теорему.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУглы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗначит, точка М делит медиану Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

Теорема о пропорциональных отрезках

Свойство медиан треугольника

Свойство биссектрисы треугольника

Подобные треугольники

Лемма о подобных треугольниках

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывают отношение их длин, то есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Говорят, что отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпропорциональные отрезкам Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Например, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдействительно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпропорциональны трем отрезкам Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныесли

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекают стороны угла Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 123). Докажем, что

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи на отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Разделим отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравных частей длины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— на Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравных частей длины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравных отрезков длины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпричем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныбудет состоять из Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытаких отрезков, а Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— из Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытаких отрезков.

Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Найдем отношение Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныБудем иметь:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие 2. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Учитывая, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

будем иметь: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Откуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПостройте отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Для построения отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

2) Проведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЧерез точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныугла обозначим через Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Построенный отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывают четвертым пропорциональным отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытак как для этих отрезков верно равенство: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны (рис. 127), то

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЧисло Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывают коэффициентом подобия треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонык треугольнику Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныили коэффициентом подобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобие треугольников принято обозначать символом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныВ нашем случае Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗаметим, что из соотношения Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследует соотношение

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №7

Стороны треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Обозначим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо условию Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(см). Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекает стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысоответственно в точках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 129). Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— общий для обоих треугольников, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как соответственные углы при параллельных прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(аналогично, но для секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, три угла треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны трем углам треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроведем прямую, параллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи пересекающую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТак как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— параллелограмм, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо обобщенной теореме Фалеса: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Но Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

4) Окончательно имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа значит, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 130). Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Отложим на стороне Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи проведем через Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпрямую, параллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 131). Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по лемме).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНо Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по построению). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо условию Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Так как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоэтому

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУчитывая, что

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по трем сторонам).

4) Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНо Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонызначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Решение:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— параллелограмм (рис. 132). Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— высота параллелограмма. Проведем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— вторую высоту параллелограмма.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— прямоугольный треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) У прямоугольных треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныугол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— общий. Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по острому углу).

2) Аналогично Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны-общий, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) У треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по острому углу).

Отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывают проекцией катета Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына гипотенузу Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроекцией катета Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына гипотенузу Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по лемме). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныили Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по лемме). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныили Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по лемме). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныили Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №10

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— высота прямоугольного треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

с прямым углом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа так как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТак как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТак как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

4) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 147). Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Проведем через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпрямую, параллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи продлим биссектрису Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдо пересечения с этой прямой в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— равнобедренный (так как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа значит, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как вертикальные), поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам). Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Но Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытаким образом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из пропорции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныможно получить и такую: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №12

В треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса треугольника. Найдите Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Рассмотрим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 147). Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТак как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем уравнение: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонымедиана (рис. 148).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Учитывая, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныобозначим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТак как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— середина Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИмеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны пересекаются в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Пусть хорды Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекаются в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 150). Рассмотрим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как вертикальные), Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам), а значит, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие. Если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— центр окружности, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— ее радиус, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— хорда, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныгде Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Проведем через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдиаметр Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 151). Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №14

Доказательство:

Опишем около треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныокружность и продлим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдо пересечения с окружностью в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 152).

1) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по условию). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам).

2) Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи касательную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныгде Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны — точка касания, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(как вписанный угол), Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, то

есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам),

значит, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Так как по теореме каждое из произведений Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— центр окружности, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— ее радиус, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— касательная, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— точка касания, то Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныгде Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство:

Проведем из точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонычерез центр окружности Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысекущую (рис. 154), Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс планкой, которая вращается вокруг точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНаправим планку на верхнюю точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв которой планка упирается в поверхность земли.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Рассмотрим Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу них общий, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по острому углу).

Тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если, например, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныу которого углы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи откладываем на прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравный данному.

3) Через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроводим прямую, параллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОна пересекает стороны угла Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв некоторых точках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 157).

4) Так как Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЗначит, два угла треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны данным.

Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— середина Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по двум углам). Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Получаем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто есть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНо Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(по построению), поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— медиана треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— искомый.

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывается частное их длин, т.е. число Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Иначе говоря, отношение Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоказывает, сколько раз отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи его части укладываются в отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДействительно, если отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отрезки длиной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпропорциональны отрезкам длиной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныесли Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпоказывает, сколько раз отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныукладывается в отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа отношение Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысколько раз отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныукладывается в отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДействительно, прямые, параллельные Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны«переходит» в отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдесятая часть отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— в десятую часть отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи т.д. Поэтому если отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныукладывается в отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныраз, то отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныукладывается в отрезке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытакже Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи следствие данной теоремы можно записать в виде Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПостройте отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи отложим на одной его стороне отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа на другой стороне — отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 91).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Проведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи прямую, которая параллельна Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроходит через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи пересекает другую сторону угла в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо теореме о пропорциональных отрезках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— искомый.

Заметим, что в задаче величина Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляется четвертым членом пропорции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Число Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс коэффициентом подобия Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЭто означает, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныт.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИмеем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, (рис. 99).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтложим на луче Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравный Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи проведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо второму признаку, откуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо теореме о пропорциональных отрезках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследовательно Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныАналогично доказываем что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТаким образом по определению подобных треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдиагонали пересекаются в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 100).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Рассмотрим треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныВ них углы при вершине Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как вертикальные, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам. Отсюда следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо скольку по условию Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонызначит, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв которых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 101).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравный Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи проведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныделит каждую из них в отношении Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныначиная от вершины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите, что эта прямая параллельна Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть прямая Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекает стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв точках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНо эти углы являются соответственными при прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 103).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравный отрезку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи проведем прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпараллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУчитывая, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныАналогично доказываем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс острым углом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроведены высоты Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 110). Докажите, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПоскольку они имеют общий острый угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Рассмотрим теперь треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныУ них также общий угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныназывается средним пропорциональным между отрезками Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныесли Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В прямоугольном треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс катетами Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи гипотенузой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроведем высоту Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи обозначим ее Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 111).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Отрезки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына гипотенузу Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныобозначают Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По признаку подобия прямоугольных треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(у этих треугольников общий острый угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(у этих треугольников общий острый угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИз подобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныАналогично из подобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИ наконец, из подобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 112).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из метрического соотношения в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИз соотношения Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныоткуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи гипотенузой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 117) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— высота треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв котором Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 118).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— наибольшая сторона треугольника, то точка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонылежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонысм, тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа из прямоугольного треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныимеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныт.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПриравнивая два выражения для Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныполучаем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Таким образом, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Тогда из треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо теореме Пифагора имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 119, а) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажем, что угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс прямым углом Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв котором Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 119, б). По теореме Пифагора Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо трем сторонам, откуда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныдля которых выполняется равенство Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныне лежит на прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс точкой прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНа рисунке 121 отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— наклонная к прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныточка Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— основание наклонной. При этом отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпрямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонына данную прямую.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По данным рисунка 123 это означает, что

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В случае, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Проведем перпендикуляры Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонык прямой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 124). Прямоугольные треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны, поскольку их острые углы при вершине Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

С другой стороны, прямоугольные треугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда следует что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Сравнивая это равенство с предыдущем Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонычто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса прямоугольного треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныс гипотенузой Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 125).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По свойству биссектрисы треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Тогда если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи по теореме Пифагора имеем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

тогда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть хорды Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекаются в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПроведем хорды Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТреугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по двум углам: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныт.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть из точки Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонык окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи касательная Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— точка касания). Проведем хорды Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТреугольники Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобны по двум углам: у них общий угол Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныа углы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныизмеряются половиной дуги Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныт.е. Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпересекаются в точке Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 129). Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНо углы Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонывнутренние накрест лежащие при прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныСледовательно, по признаку параллельности прямых Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Построение:

1.Построим треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныв котором Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2.Построим биссектрису угла Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

4.Проведем через точку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпрямую, параллельную Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныПусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— точки ее пересечения со сторонами угла Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныТреугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныискомый.

Поскольку по построению Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныкак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— биссектриса и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо построению, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи ни одного, если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобие треугольников

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны= 2АВ, составим отношение этих сторон: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Аналогично получим: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныи говорим: «Треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобен треугольнику ABC*. Знак Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонызаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Подставим известные длины сторон: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, отсюда АВ = 5,6 см; Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажем, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поскольку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныто Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из обобщенной теоремы Фалеса, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Но КА = MN, поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, их можно приравнять: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Прямые ВС и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныcообразуют с секущей Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныравные соответственные углы: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИз признака параллельности прямых следует, что, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, отсекает от треугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобный треугольник. Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Тогда:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказать: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство. Пусть Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Отложим на стороне Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие сторонытреугольника Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныотрезок Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИмеем треугольник Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныИз равенства треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныподобия треугольников Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныследует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Доказательство.

1) Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныОтсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны= Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(рис. 302).

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Поэтому Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныno двум углам. В них: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Построение.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны= I. Следовательно, Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороныДокажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Смотреть картинку Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Картинка про Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны. Фото Докажите что соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *