Докажите что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше

Докажите что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

Решение 1

Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD и MN = ½ (AD + BC). На продолжении отрезка BN за точку N отложим отрезок NK, равный BN. Из равенства треугольников BCN и KDN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK = BC и DK || BC.

Поскольку MN – средняя линия треугольника ABK, то AK = 2MN = AD + BC = AD + DK. Следовательно, точка D лежит на отрезке AK и AD || BC.

Решение 2

Заметим, что Сложив (с учетом того, что ), получим, что Поскольку длина суммы векторов не превосходит суммы их длин, то 2MN ≤ BC + AD, причём равенство достигается только в том случае, когда векторы и сонаправлены, то есть когда ABCD – трапеция с основаниями BC и AD.

Источники и прецеденты использования

Источник