Докажите что сумма кубов 13 и 36 делится на 49
Самостоятельная работа «Делимость чисел»
Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 38 делится на 67.
Вычеркните в числе 82584703 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что число 4·16 12 – 2 40 делится на 33.
Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5
Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.
Докажите, что сумма кубов чисел 12 и 77 делится на 89.
Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что число 16 20 +2 76 делится на 17
Докажите что сумма трех последовательных четных чисел кратна 6
Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64.
Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что число 6 18 + 36 8 делится на 37
Докажите что, сумма трёх последовательных нечётных чисел кратна 3.
Найдите четырёхзначное число, кратное 75, все цифры которого различны и нечётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что разность квадратов чисел 102 и 83 делится на 19.
Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Докажите, что число 3 24 – 9 11 + 27 7 делится на 25
Докажите что, сумма четырех последовательных нечётных чисел делится на 8.
Найдите пятизначное число, кратное 25, соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что разность квадратов чисел 102 и 21 делится на 123.
Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Докажите, что число 3 19 – 27 6 +9 8 делится на 57
Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.
Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число
Докажите, что сумма кубов чисел 14 и 62 делится на 76.
Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.
Докажите, что число 2 23 – 4 11 + 8 7 делится на 48
Докажите что, сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.
Докажите, что разность квадратов чисел 115 и 86 делится на 29.
Вычеркните в числе 75416303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
Докажите, что число 4 7 –8 3 делится на 31
Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что разность кубов чисел 79 и 45 делится на 34.
Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что число 9 9 + 27 5 делится на 84
Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9
Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
Докажите, что разность квадратов чисел 78 и 21 делится на 99.
Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Докажите, что число 2 56 + 16 15 делится на 17
Докажите, что сумма шести последовательных натуральных нечётных чисел делится на 12.
Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12.
Докажите, что сумма кубов чисел 13 и 36 делится на 49.
Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
Докажите, что число 10 10 + 10 делится на 11
Докажите, что сумма пяти последовательных нечётных чисел делится на 5.
Найдите пятизначное натуральное число, кратное 3, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 36 делится на 69.
Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27.
Докажите, что число 444 88 +888 44 делится на 148
Докажите, что сумма шести последовательных натуральных нечётных чисел делится на 4.
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 11, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения.
Докажите, что разность кубов чисел 93 и 45 делится на 48.
Докажите, что число 6 8 + 216 2 делится на 37
Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны.
Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 41 делится на 64.
Вычеркните в числе 89767581 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18.
Докажите, что число 9 15 –3 27 делится на 26
Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь такое число
Зачетная работа по теме «Делимость чисел» 10 класс
Зачетная работа Вариант 1
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 6048.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 54; 72; 96
4.Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 38 делится на 67.
5.Докажите, что сумма кратна 11.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 25, а если к этому числу прибавить 9, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 2
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 2250.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 48; 64; 96
4.Докажите, что сумма кубов чисел 12 и 77 делится на 89.
5.Докажите, что сумма кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 34, а если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 3
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 2160.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 44; 76; 92
4.Докажите, что разность квадратов чисел 102 и 83 делится на 19.
5.Докажите, что сумма кратна 9.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 25, а если из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 4
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 6075.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 42; 66; 84
4.Докажите, что разность кубов чисел 89 и 25 делится на 64.
5.Докажите, что разность кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 52, а если из этого числа вычесть 18, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 5
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 12960.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 52; 70; 96
4.Докажите, что разность квадратов чисел 102 и 21 делится на 123.
5.Докажите, что разность кратна 18.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 26, а если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 6
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 2800.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 49; 60; 98
4.Докажите, что сумма кубов чисел 14 и 62 делится на 76.
5.Докажите, что сумма кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 17, а если к этому числу прибавить 27, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 7
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 6480.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 32; 70; 96
4.Докажите, что разность квадратов чисел 115 и 86 делится на 29.
5.Докажите, что разность кратна 11.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 34, а если из этого числа вычесть 18, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 8
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 4752.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 40; 65; 80
4.Докажите, что разность кубов чисел 79 и 45 делится на 34.
5.Докажите, что разность кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 45, а если из этого числа вычесть 27, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 9
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 3024.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 49; 60; 96
4.Докажите, что разность квадратов чисел 78 и 21 делится на 99.
5.Докажите, что сумма кратна 11.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 20, а если к этому числу прибавить 18, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 10
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 8750.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 42; 68; 84
4.Докажите, что сумма кубов чисел 13 и 36 делится на 49.
5.Докажите, что сумма кратна 3.
Зачетная работа Вариант 11
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 2640.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 44; 76; 88
4.Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 36 делится на 69.
5.Докажите, что сумма кратна 9.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 29, а если из этого числа вычесть 27, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 12
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 7560.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 44; 68; 88
4.Докажите, что разность кубов чисел 93 и 45 делится на 48.
5.Докажите, что разность кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 37, а если из этого числа вычесть 45, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 13
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 2520.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 34; 72; 68
4.Докажите, что разность квадратов чисел 105 и 41 делится на 64.
5.Докажите, что сумма кратна 11.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 40, а если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 14
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 5040.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 48; 70; 96
4.Докажите, что сумма кубов чисел 13 и 42 делится на 55.
5.Докажите, что сумма кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 53, а если к этому числу прибавить 45, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке
Зачетная работа Вариант 15
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 7020.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 46; 75; 92
4.Докажите, что разность квадратов чисел 104 и 73 делится на 31.
5.Докажите, что сумма кратна 9.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 25, а если к этому числа прибавить 9, то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Зачетная работа Вариант 16
Тема: Делимость чисел. Простые и составные числа. НОД и НОК.
1. Найти неизвестную цифру, если :
2. Составьте разложение на простые множители числа 6240.
3. Найдите НОД и НОК чисел: а) 42; 60; 84
4.Докажите, что разность кубов чисел 89 и 41 делится на 48.
5.Докажите, что разность кратна 3.
7. Определите натуральное число со следующими данными: сумма квадратов цифр этого числа равна 50, а если из этого числа вычесть 54 то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке.
Олимпиада по математике
Олимпиада по математике
Муниципальный этап 2012–2013 уч. г.
7.1. К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 36. Найдите все возможные решения.
Ответ. 04 или 40 или 76. Указание. Заметим, что 36 = 9×4. По признаку деления на 9 сумма двух последних цифр полученного числа может быть либо 4, либо 13. В первом случае искомые две цифры – это 04 или 40 (другие варианты 13, 22 и 31 не подходят из-за признака деления на 4). Во втором случае получаем только вариант 76 (т. к. варианты 94, 85, 67, 58 и 49 не подходят ). Другой способ решения: поделим с остатком 201200 на 36, неполное частное равно 5588, умножим следующие числа, а именно 5589, 5590, 5591 на 36, тогда последние две цифры произведения дадут ответ.
7.2. Средний возраст учительского коллектива школы, состоящего из 20 учителей, равнялся 49 годам. В новом учебном году в школу пришел еще один учитель, и средний возраст стал равен 48 годам. Сколько лет новому учителю?
Ответ. 28 лет. Указание. До нового учебного года суммарный возраст учителей был равен 49×20 = 980. В новом году он стал равен 48×21 = 1008. Значит, новому учи – 980 = 28 лет.
7.3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD и точка М внутри него, не лежащая на диагоналях. Докажите, что хотя бы один из углов Ð AMC или Ð BMD тупой.
Указание. Пусть О – точка пересечения диагоналей и пусть, для определенности, точка М лежит внутри треугольника ВОС. Тогда
Поэтому углы Ð AMC и Ð BMD не могут быть оба нетупыми.
7.4. Петя выписал на доске подряд все натуральные числа от 1 до n и подсчитал количество всех написанных цифр. Потом он позвонил Коле и спросил: «Чему равно n, если всего выписано 2012 цифр?» Коля сказал: «Пересчитай еще раз, ты ошибся». Кто из мальчиков прав?
7.5. Сумма десяти различных натуральных чисел больше 144. Докажите, что среди этих десяти чисел найдутся три числа, сумма которых не меньше 54.
Указание. Пусть 
– три наибольших числа среди данных. Если а ³ 17, то 
17+18+19 = 54, и утверждение доказано. Рассмотрим теперь случай а £ 16 и предположим противное к утверждению задачи. Тогда 
, а остальные (меньшие) семь чисел из данных десяти в сумме дают число не более 15+14+13+12+11+10+9 = 84. Значит, сумма всех десяти чисел не более 54+84 = 138 2 OK и поэтому 
>2 
Но это противоречит неравенству (*). б) Аналогично, предположим, от противного, что все высоты делятся в отношении, меньшем 2, и рассмотрим высоту из точки С. Тогда аналогично пункту а), в результате получим неравенство + 
1, то на него делилась бы и разность В – С = 2, но это невозможно, т. к. В и С нечетны. Взаимная простота пар (А, С) и (А, В) следует из равенства ВС + 2 = А (только двойка могла бы быть общим делителем). Итак, взяв по одному простому делителю чисел А, В, С, получим три искомых простых числа.
б) Теперь получим дальнейшее разложение на множители чисел В и А.
Разложение числа 
. Действительно, 
делится на 3, поскольку произведение нечетного числа сомножителей вида 3k – 1 (и значит, нечетная степень числа такого вида) тоже имеет такой вид. Далее, поскольку 23 имеет вид 9k – 1, то 
будет иметь такой вид и поэтому 
не делится на 9.
Разложение числа 
. Действительно, 
, а числа вида 5k – 1 в нечетной степени тоже имеют такой вид, т. е. А делится на 5. Далее, поскольку 
имеет вид 25k – 1, то 
будет иметь вид 25 l + 1 (т. к. степень четная), и поэтому 
будет иметь вид 
, т. е. А не делится на 25.
Число А можно еще разложить, если воспользоваться равенством 
=
. Здесь множители взаимно просты, т. к. их разность равна 2253, т. е. четное число. В этом представлении числа А первая скобка делится на 5 (что проверяется аналогично предыдущему) и поэтому имеем разложение числа : 
на 3 взаимно простых множителя.
11.1. Решите уравнение 
.
Ответ. 
. Указание. Найдем область определения. Имеем 
или 
. При этом получаем четыре значения 
, при которых подкоренное выражение обращается в нуль. Первый множитель уравнения 
обращается в нуль только при условии 
(т. к. 
). Таким образом, 
, но в область определения попадают лишь два значения: 
из указанной серии (неравенство 
следует из неравенств 
и 
).
11.2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет четыре различных корня.
Ответ. 
или 
Указание. Рассмотрим сначала случай a > 0. Построим график 
на координатной плоскости и проведем касательную из точки М1(0;6) к ветви графика, расположенной между точками М1 и М2(-2;0). Найдем точку касания М3(x0;y0). Эта точка удовлетворяет уравнению 
, а также уравнению прямой 
, где 
, т. е. 
. Из этих уравнений получаем 
, 
.
Прямая 
пересекает график в четырех точках, когда угловой коэффициент этой прямой находится между угловыми коэффициентами прямых М1М2 и М1М3, значит,. 
, т. е. . Аналогично, для отрицательных а получим симметричные границы: .
11.3. а) Дана треугольная пирамида SABC со взаимно перпендикулярными боковыми ребрами SA, SB, SC. Докажите, что D ABC остроугольный. б) Докажите, что для любого остроугольного треугольника АВС можно построить треугольную пирамиду SABC со взаимно перпендикулярными боковыми ребрами SA, SB, SC.
Указание. а) См. задачу 10.2. б) Пусть a = BC, b = AС, c = AB. Покажем, что в пространстве с прямоугольной системой координат можно отметить на координатных осях точки 
, 
и 
так, чтобы 
, 
и 
, тем самым мы докажем наше утверждение (вершина S – начало координат). Действительно, имеем систему трех уравнений 
, 
, 
. Ее решение 
, 
, 
существует, т. к. D АВС – остроугольный и значит, 
,
,
.
11.4. Существует ли функция f, определенная на множестве всех положительных чисел и удовлетворяющая тождествам 
и 
?
Ответ. Существует: 
Указание. Значение 
при всех положительных х (что следует из неравенства между средними арифметическим и геометрическим). Обозначим 
. Тогда 
, т. е. 
= 
(при 
).
Далее, 
при всех х. Обозначим 
, тогда 
(при 
). В общей точке t = 2 областей определения и 
их значения совпадают: 
и значит, искомая функция существует.
11.5. Докажите, что число 
имеет не менее а) трех различных простых делителей, б) шести различных простых делителей.