Докажите что точка пересечения

Докажите что точка пересечения

Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Решение

Четвёртый способ. Из равенства (см. задачу 55367) следует, что

Пятый способ. Пусть A₁ – точка, диаметрально противоположная вершине A. Тогда ∠ABA₁ = ∠ACA₁ = 90°, а так как BH ⊥ AC и CH ⊥ AB, то BH || CA и
CH || BA₁. Значит, BHCA₁ – параллелограмм. Его диагонали делятся точкой пересечения K пополам. При этом OK ⊥ BC. Отрезок OK – средняя линия треугольника AHA₁, следовательно, OK = AH /₂.

Шестой способ. Пусть L и F – середины отрезков AC и CH соответственно. Тогда OK ⊥ BC и AH ⊥ BC, поэтому OK || AH. С другой стороны, LF – средняя линия треугольника AHC, поэтому LF || AH и LF = AH /₂. Следовательно, LF || OK. Отрезок KF – средняя линия треугольника BHC, поэтому KF || BH, а так как BH ⊥ AC, то KF ⊥ AC. С другой стороны, OL ⊥ AC, значит, OL || KF. Противоположные стороны четырёхугольника OKFL попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно, OK = LF = AH /₂.

Источники и прецеденты использования

Источник

Докажите что точка пересечения

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Прямые B₁C₁ и BC пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники PBC₁ и PB₁C подобны.

б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB₁, ∠ABC = 80°, а точка B лежит между C и P.

а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому сумма углов BCB₁ и BC₁B₁ равна 180°. Отсюда следует равенство углов PC₁B и PCB₁. А тогда треугольники PC₁B и PCB₁ подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.

б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Заметим, что треугольник PBB₁ равнобедренный, поэтому углы BPB₁ и BB₁P равны. А углы HB₁C₁ и HAC₁ опираются на одну и ту же дугу окружности, построенной на AH как на диаметре, поэтому они тоже равны. Последний же угол, как легко видеть равен Теперь получаем, что угол PBB₁ равен Угол ABB₁ же тогда равен откуда

Заметим теперь, что

поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом Диаметр описанной окружности треугольника ABC равен Диаметры описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому Отсюда AH = 6.

Источник

Докажите что точка пересечения

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)

1. Рассмотрим грани ABC и ABD. Пусть M — точка пересечения медиан Δ ABC, N — треугольника ABD. И пусть K — середина AB. Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC : KM = KD : KN = 3 : 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN, CD = 3MN.

Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.

Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.

2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).

Пусть L — середина ребра BC. В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC. Проведем также прямую KL, которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P.

Пусть O₁ точка пересечения DM и KL.

Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD. У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC, CL = DL. Тогда Δ KLC = Δ PLD — по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD, KL = PL, ∠CKL = ∠BPL.

В Δ KO₁M и Δ PO₁D ∠KO₁M = ∠ PO₁D как вертикальные, ∠MKO₁ = ∠DPO₁ по ранее доказанному. Значит, откуда DO₁ : O₁M = PD : KM. Но как доказано выше, KC = PD. Следовательно, O₁D : O₁M = KC : KM = 3 : 1.

Итак, O₁D : O₁M = 3 : 1. Выше было доказано, что OD : OM = 3 : 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3 : 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O₁ совпадут, то есть KL проходит через точку О. Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD, BD и AC, пройдут через точку О. И это — все то, что требовалось доказать.

б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.

Источник