Докажите что точки попарного пересечения биссектрис всех четырех углов параллелограмма
Experienced Expert
Профиль Группа: Участник Сообщений: 390 Регистрация: 7.1.2008 Где: Moscow-City
иногда всех достаю
Профиль Группа: Участник Сообщений: 525 Регистрация: 17.8.2007 Где: г.Москва
Репутация: 2 Всего: 29
ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела. Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!
Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
Докажите что точки попарного пересечения биссектрис всех четырех углов параллелограмма
1.Точки пересечения биссектрис внутренних углов параллелограмма являются вершинами некоторого четырёхугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — прямоугольник.
2. Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.
Решение: Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке P, биссектрисы внешних углов при вершинах C и D — в точке Q, внешних углов при вершинах A и D — в точке R, внешних углов при вершинах A и B — в точке S. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS — прямоугольник. Пусть M — середина BC. Тогда PM — медиана прямоугольного треугольника BPC, поэтому PM = MC. Значит,
PR = PM + MN + NR = MC + CD + ND = BC + CD.
3.Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.
Решение: Пусть биссектрисы углов при вершинах B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, биссектрисы углов при вершинах C и D — в точке N, углов при вершинах A и D — в точке K, углов при вершинах A и B — в точке L. Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то MLKN — прямоугольник. Предположим, что AB > BC. Если луч BM пересекает прямую CD в точке T, то
Докажите что точки попарного пересечения биссектрис всех четырех углов параллелограмма
Experienced Expert
Профиль Группа: Участник Сообщений: 390 Регистрация: 7.1.2008 Где: Moscow-City
иногда всех достаю
Профиль Группа: Участник Сообщений: 525 Регистрация: 17.8.2007 Где: г.Москва
Репутация: 2 Всего: 29
ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела. Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!
Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
Свойства биссектрис параллелограмма (геометрия, 8-й класс)
Класс: 8
Цель: доказать свойства биссектрис параллелограмма и рассмотреть их применение к решению задач.
I. Повторение (устно)
1. Сформулируйте определение параллелограмма.
2. Сформулируйте свойства параллелограмма.
3. Сформулируйте признаки параллелограмма.
4. Сформулируйте свойства параллельных прямых.
II. Изучение нового материала
Учащиеся самостоятельно по парам решают задачи на доказательство (3-5 мин) с последующей проверкой на доске и формулируют свойства биссектрис параллелограмма (каждый ряд решает по одной задаче). Оформление доказательств к задачам записывает учитель на доске под диктовку учеников.
Задача № 1.Биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Определите вид полученного треугольника.
Задача № 2.Найдите угол образованный биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Задача № 3.Определите взаимное расположение прямых на которых лежат биссектрисы противоположных углов.
Свойства биссектрис параллелограмма:
1). Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2). Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.
3). Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.
III. Закрепление изученного материала
Учащиеся решают задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма. (Тексты задач и чертежи к ним выдаются каждому ученику.) Оформление решений к задачам записывают ученики на доске.
IV. Итог урока (ученики формулируют изученные свойства)
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма
Что можно сказать о случае, когда точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне?
Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то одна сторона параллелограмма вдвое больше другой.
Дано : ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.
Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольники ABF и DCF — равнобедренные,
Что и требовалось доказать.
Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то сумма квадратов этих биссектрис равна квадрату большей стороны и в 4 раза больше квадрата меньшей стороны параллелограмма.
Дано : ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.
Так как биссектрисы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFC=90º.
Из прямоугольного треугольника AFD по теореме Пифагора
Так как точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит его стороне, длина большей стороны в 2 раза больше длины меньшей:
Что и требовалось доказать.
В следующий раз рассмотрим, как эти свойства биссектрис параллелограмма применяются при решении задач.
BAD, AM : MC = 5 : 3, POBC > POCD на 6 см. Найти стороны и периметр параллелограмма.
Дано : ABCD — параллелограмм,
Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольники ABF и DCF — равнобедренные,
Дано : ABCD — параллелограмм,
