Докажите что вертикальные углы равны 7 класс геометрия

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).

∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:

∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.

Равенство вертикальных углов

Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:

Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:

Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.

Источник

Вертикальные углы. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цель урока:

Образовательная: формирование знаний о вертикальных углах, умения самостоятельно определять вертикальные углы в комбинациях геометрических фигур, умения применять знания при решении геометрических задач и способов деятельности;

Развивающая: формирование умений анализировать, устанавливать причинно-следственные связи, развитие умения сравнивать и находить различий и сходства у смежных и вертикальных углов, развитие умение обобщать и синтезировать знания о смежных и вертикальных углах, развитие умения выдвигать гипотезы и предположения, развитие ассоциативного мышления, воображения;

Воспитательная: воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность исполнительской деятельности, воспитание активности, увлеченности, целеустремленности, наблюдательности, интуиции, сообразительности, самостоятельности.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки-смайлики, карточки-опросники для рефлексии;

Приемы и методы ведения урока: проблемная ситуация, диалоговое общение, объяснение, эвристическая беседа, презентация.

Ход урока

Цель: вовлечение учащихся в учебный процессОрганизует положительный настрой на урок, вспоминает с учащимися способы деятельности

Добрый день. Начинаем наш урок. С каким настроением вы приступаете к работе?

— Прежде чем выяснить, чего мы не знаем, что необходимо сделать?Воспринимают информацию, реагируют на вопросы учителя.

Учащиеся дают ответ с помощью сигнальных карточек-смайликов

-Надо выяснить, чего мы не знаем и самостоятельно найти выход из затруднения.

-Выяснить, что нам известно.Включение учащихся в учебную деятельность, формирование познавательных УУД2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся

Цель: активизация мотивационной деятельностиИнформирует о новых знаниях, мотивирует учебную деятельность:

— В какой большой теме мы с вами сейчас работаем?

— Вспомните план, по которому идет изучение любой темы?

— Что из перечисленного мы уже изучили?

Сформулируйте свойство смежных углов.Воспринимают информацию, обнаруживают первичное понимание:

Определение угла, смежные углы, дают определения, вспоминают свойство смежных углов.Развитие коммуникативных компетенций, коммуникативных УУД3.Актуализация знаний

Цель: подготовка к усвоению новых знанийСлайд 1

Ребята, а что можно сказать об углах 4 и 2, 1 и 3, 5 и 7?Учащиеся на основании определения смежных углов находят пары смежных углов

Учащиеся предполагают, что они равны, что стороны одного являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого, возможно среди предполагаемых названий пар возникнет название “вертикальные”Осознание потребности к построению нового способа действий.4.Первичное усвоение новых знаний

Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материалаОрганизует первичное усвоение знаний учащимися

Как они выглядят, какое название им можно дать?

Тема сегодняшнего урока:

Цель нашего урока: познакомиться с понятием вертикальных углов, их свойством и научиться решать задачи с применением этих свойств.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми сторон другого

Что можно сказать о вертикальных углах, каким свойством они обладают?

Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема: Вертикальные углы равны.

Пусть 1 и 2 – данные вертикальные углы, СОD и DOA. Отсюда, по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов DOC и AOB дополняет угол AOD до 180 градусов, т.е. 1 = 2. Что и требовалось доказать.

Давайте найдем, где в учебнике рассказано о вертикальных углах и их свойствах, откройте стр. 22 учебника, п.15. Найдите определение вертикальных углов. Прочитайте. Найдите Теорему о вертикальных углах, прочитайте.Осмысливают, углубляют понимание нового материала

Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь

Учащиеся переносят рисунок в тетрадь, наносят обозначения

Учащиеся выдвигают гипотезу, что вертикальные углы равны

Учащиеся записывают краткую запись теоремы: если 1 и 2 вертикальные, то 1 = 2

Учащиеся записывают доказательство.

Учащиеся работают с учебником, читают вслух определение вертикальных углов и теорему о вертикальных углах.Усвоение нового понятия “вертикальные углы”, и новых способов деятельности, развитие регулятивной компетенции5. Первичная проверка понимания

Цель: становление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекцияОрганизует проверку понимания на примере нестандартной ситуации

А теперь, ребята, найдем вертикальные углы в нестандартных ситуациях, внимание на интерактивную доску:

На основании чего можно сделать такой вывод?Демонстрируют первичное понимание полученных знаний:

Учащиеся определяют пары вертикальных углов: 6 и 4,

3 и 5 и объясняют почему они вертикальные.

DFM и BFA, DFB и MFA,Усвоение понятия вертикальных углов и их свойств, формирование критического мышления6.Первичное закрепление

Цель: выявление пробелов, неверных представлений и их коррекцияОрганизует решением задач

А теперь рассмотрим следующую задачу:

— Какие углы изображены на чертеже?

— Сколько пар вертикальных углов вы видите?

— Чтобы найти углы 1 и 2 какие свойства нужно применить?

Приступим к решению:

DOA и AOB являются смежными, т.к. АО – общая, а DO и OB – дополнительные полупрямые. Значит, по свойству смежных углов:

Решим ещё одну задачу. Откройте учебник, стр.26, задача №7.

Учитель делает чертеж на доске:

Какие углы при этом образуются?

Повторим свойства смежных и вертикальных углов.

Учащиеся записывают условие задачи, делают чертёж, наносят обозначения.

— свойства смежных углов, свойства вертикальных углов, формулируют эти свойства;

К доске выходит 1 ученик и решает задачу совместно с классом под руководством учителя. Учащиеся записывают решение в тетрадь.

Учащиеся работают с учебником. Читают задачу вслух: Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30 градусов. Чему равны остальные углы?

Две пересекающиеся прямые.

Острые, тупые, вертикальные, смежные.

Учащиеся озвучивают свойства смежных и вертикальных углов. Один из учащихся идет к доске для решения задачи.Применение свойств вертикальных углов при решении задач, формирование способности к обобщению, развитие умения работать с текстом7.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Цель: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего заданияЗакройте тетради, откройте дневники, запишите домашнее задание:

Откройте учебники, найдите номера домашнего задания.

№9. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при пересечении двух прямых?

№10. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в 4 раза больше другого? Каким свойством нужно воспользоваться в задаче?

№11. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в на 50 градусов меньше другого?

Каким свойством нужно воспользоваться в задаче?Учащиеся закрывают тетради.

Открывают дневники, записывают д/з.

Открывают учебники, стр.27

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в четыре раза больше другого. Найдите эти углы.

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50 градусов меньше другого. Найдите эти углы.

Свойством вертикальных и смежных угловОсмысление приемов и способов деятельности8.Рефлексия

Цель: выявление уровня осознания содержания пройденного— Выполнили вы сегодня условия учебной деятельности?

— Какую цель ставили перед собой на уроке?

— Смогли ли ее достичь?

— Выполнили ли основную задачу урока?

— Что более всего понравилось на уроке?

Напиши, над чем тебе надо еще поработать дома и на следующем уроке.

— Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке. (Оценка происходит с помощью карточек—смайликов )

— Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на уроке. Урок окончен.Ученики отвечают на вопросы фронтально.

Оценивают свою деятельность с помощью карточки самооценки.

Источник

Докажите что вертикальные углы равны 7 класс геометрия

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁.
Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Источник

Какие углы называются смежными, а какие вертикальными

Смежные и вертикальные углы – определение

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.

Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема о смежных и вертикальных углах

Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.

Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.

Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.

Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Смежные углы

Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:

Приведем пример решения задачи со СУ.

Задача

∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.

Решение

Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1=3х, ∠2=7х. Так как ∠1+∠2=180°(по теореме о СУ), то 3х+7х=180°, 10х=180°, х=18°. Следовательно ∠1=3×18°=54°, ∠2=7×18°=126°

Вертикальные углы

Отметим также неупомянутые свойства ВУ:

Приведем пример решения задачи с ВУ.

Задача

Решение

Так как ∠ C O D и ∠ A O B вертикальные, то значит, они равны, а тогда:

\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)

\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)

Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Источник