Дружественные числа что это
Дружественные числа
Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.
Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.
Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.
В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.
Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.
В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:
, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:
2 n pq и 2 n r — пара дружественных чисел.
Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n больше никаких пар дружественных чисел нет.
Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:
Дружественные числа
Всего получено оценок: 138.
Всего получено оценок: 138.
Математика полна интересных загадок и не всегда понятных закономерностей. Математики древности считали, что можно всю вселенную изучить с помощью чисел, нужно только найти правильные закономерности, как показывает история – они оказались правы. Одной из интересных математических закономерностей являются дружественные числа, о которых и пойдет речь сегодня.
Что такое дружественное число?
Вспомним, что любое число имеет делители, то есть числа, на которые число поделиться нацело. Если у одного числа сумма всех делителей равна второму числу, а у второго числа сумма всех делителей равна первому, то такие числа называются дружественными.
Название закономерности пошло от Пифагора. Когда у древнего математика спросили, кто есть друг, он ответил, что для него друг – человек, повторяющий его самого. В качестве примера Пифагор привел два числа 220 и 284. А нашедшие закономерность ученики назвали числа дружественными друг другу.
Пример дружественных чисел
Рассмотрим наиболее простой пример дружественных чисел, приведенный еще Пифагором.
Делители числа 220: 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110
Делители числа 284: 1;2;4;71;142
Если просуммируем все делители первого числа, то получится 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
А теперь просуммируем делители числа 284: 1+2+4+71+142 = 220 – так и выглядит в математике эффект дружественных чисел.
Обратите внимание на то, что само число не считается делителем. Но при этом любое число можно поделить на само себя и получить в результате 1. А вот 1 считается делителем любого числа.
Сколько всего дружественных чисел?
Открывателем первой пары дружественных чисел был Пифагор. Эта пара наименьшая, ближе к началу числовой прямой таких чисел нет. После Пифагора ни один математик не мог открыть следующую пару чисел целых 15 веков, то есть полтора тысячелетия.
Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их 59 пар!
С изобретением метода выявления дружественных чисел, пары стали находить все чаще и чаще. На 2019 год найдено больше 1 миллиарда дружественных чисел и пары продолжают находить. Интересно, что до сих пор математики не выяснили, является ли число дружественных пар конечным, или их бесконечно много.
Что мы узнали?
Мы поговорили о дружественных числах. Узнали, что это такое и поговорили об истории открытия математической зависимости. Сказали, сколько дружественных чисел открыто на данный момент.
Дружественные числа – примеры
Математика полна интересных загадок и не всегда понятных закономерностей. Математики древности считали, что можно всю вселенную изучить с помощью чисел, нужно только найти правильные закономерности, как показывает история – они оказались правы. Одной из интересных математических закономерностей являются дружественные числа, о которых и пойдет речь сегодня.
Что такое дружественное число?
Вспомним, что любое число имеет делители, то есть числа, на которые число поделиться нацело. Если у одного числа сумма всех делителей равна второму числу, а у второго числа сумма всех делителей равна первому, то такие числа называются дружественными.
Название закономерности пошло от Пифагора. Когда у древнего математика спросили, кто есть друг, он ответил, что для него друг – человек, повторяющий его самого. В качестве примера Пифагор привел два числа 220 и 284. А нашедшие закономерность ученики назвали числа дружественными друг другу.
Пример дружественных чисел
Рассмотрим наиболее простой пример дружественных чисел, приведенный еще Пифагором.
Делители числа 220: 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110
Делители числа 284: 1;2;4;71;142
Если просуммируем все делители первого числа, то получится 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
А теперь просуммируем делители числа 284: 1+2+4+71+142 = 220 – так и выглядит в математике эффект дружественных чисел.
Обратите внимание на то, что само число не считается делителем. Но при этом любое число можно поделить на само себя и получить в результате 1. А вот 1 считается делителем любого числа.
Сколько всего дружественных чисел?
Открывателем первой пары дружественных чисел был Пифагор. Эта пара наименьшая, ближе к началу числовой прямой таких чисел нет. После Пифагора ни один математик не мог открыть следующую пару чисел целых 15 веков, то есть полтора тысячелетия.
Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их 59 пар!
С изобретением метода выявления дружественных чисел, пары стали находить все чаще и чаще. На 2019 год найдено больше 1 миллиарда дружественных чисел и пары продолжают находить. Интересно, что до сих пор математики не выяснили, является ли число дружественных пар конечным, или их бесконечно много.
Что мы узнали?
Мы поговорили о дружественных числах. Узнали, что это такое и поговорили об истории открытия математической зависимости. Сказали, сколько дружественных чисел открыто на данный момент.
Дружественные или дружеские числа: примеры и как их найти
Содержание:
Вдружеские или дружественные числа Это два натуральных числа a и b, сумма делителей одного из которых (не включая число) равна другому числу, а сумма делителей этого другого числа (не включая его) равна первому числу.
Делителями 220, исключая 220, являются: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. В свою очередь, делители 284, не включая 284, равны: 1, 2, 4, 71 и 142.
Теперь складываем делители первого числа, которое равно 220:
D1 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
Мы замечаем, что фактически сумма равна 284, дружественному числу.
Затем складываются делители числа 284:
И первый член пары получается.
Древнегреческим математикам пифагорейской школы, основанной Пифагором (569–475 гг. До н. Э.), Автором знаменитой одноименной теоремы, удалось обнаружить эту своеобразную взаимосвязь между этими двумя числами, которым они приписывали множество мистических качеств.
Они были также известны исламским математикам средневековья, которым удалось определить общую формулу для нахождения дружественных чисел около 850 года нашей эры.
Формула для поиска дружественных чисел
Исламский математик Табит ибн Курра (826–901) нашел способ генерировать несколько дружественных чисел. Шон п, какие Y р три простых числа, то есть числа, которые допускают только 1 и сами себя в качестве делителей.
Когда выполняется следующее:
С участием п число больше 1, тогда:
а = 2 п pq и b = 2 п р
Они составляют пару дружественных чисел. Давайте проверим формулу для n = 2 и посмотрим, какую пару дружественных чисел она генерирует:
р = 3,2 2-1 – 1= 3. 2 – 1 = 5
Формула средневекового математика работает для n = 2, поскольку это как раз первые дружественные числа, о которых говорилось вначале и которые были известны уже в средние века.
Однако теорема не работает для всех найденных до сих пор дружественных чисел, только для n = 2, n = 4 и n = 7.
Спустя столетия швейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) вывел новое правило поиска дружественных чисел, основанное на правилах Табита ибн Курры:
Как всегда, числа p, q и r простые, но теперь есть два целых показателя степени: m и n, из которых m должно удовлетворять следующему условию:
Аналогично формируется пара дружественных чисел:
Если m = n-1, теорема Табита получается снова, но, как и в случае с теоремой исламского математика, не все дружественные числа удовлетворяют правилу Эйлера. Однако с ним увеличилось количество известных до того времени дружественных чисел.
Вот первые пары показателей (m, n), с помощью которых можно найти несколько дружественных чисел:
Позже, в разделе упражнений, мы найдем пару дружественных чисел, которая образуется благодаря показателям (3,4) правила Эйлера.
Примеры дружественных чисел
Конечно, компьютер может сгенерировать гораздо больше дружественных пар чисел.
Как разложить число и найти его делители
Теперь мы посмотрим, как найти делители числа, чтобы проверить, дружат ли они.Согласно определению дружественных чисел, все делители каждого участника необходимы, чтобы их можно было сложить, кроме самих чисел.
Теперь натуральные числа можно разделить на две группы: простые числа и составные числа.
Простые числа допускают только 1 и себя как точные делители. А составные числа, со своей стороны, всегда можно выразить как произведение простых чисел и иметь другие делители, кроме 1 и самих себя.
Любое составное число N, такое как 220 или 284, можно выразить следующим образом:
В терминах этих показателей существует формула, чтобы узнать, сколько (но не какие) делители имеет число N. Пусть C будет этой величиной:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
После того, как число N выражено в терминах произведений простых чисел и известно, сколько у него делителей, у нас уже есть инструменты, чтобы узнать, каковы его делители, как простые, так и непростые. И это то, что вам нужно знать их всех, чтобы проверить, являются ли они друзьями, кроме последнего, которым является сам номер.
Решенные упражнения
— Упражнение 1
Найдите все делители пары дружественных чисел 220 и 284.
Решение
Давайте сначала найдем простые делители 220, которое является составным числом:
220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │
Разложение 220 на простые множители:
Следовательно, n = 2, m = 1, p = 1 и имеет:
С = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 делителей
Первые делители, которые замечаются при разложении числа: 1, 2, 4, 5 Y 11. И они тоже 110 Y 55.
Аналогичная процедура выполняется для 284:
С = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 делителей
Эти делители: 1, 2, 4, 71, 142 и 284, как указано в начале.
— Упражнение 2.
Проверка формулы Эйлера на n = 4 и m = 3 дает тройку простых чисел (p, q, r) = (23,47, 1151). Какая из них образуется пара дружественных чисел?
Решение
Простые числа p, q и r вычисляются по формуле:
Подставляя значения m = 3 и n = 4, получаем:
р = (2 4-3 + 1). 2 3 – 1= 23
q = (2 4-3 + 1). 2 4 – 1 = 47
Теперь формула применяется для поиска пары дружественных чисел a и b:
а = 2 п pq = 16,23,47 = 17,296
b = 2 п г = 16. 1151 = 18,416
И действительно, они входят в список первых пар дружественных чисел, которые мы показали ранее.
Ссылки
Виды психологических тестов: их функции и характеристики
Гипопотомонстроза, сквипедалиофобия: иррациональный страх перед длинными словами
math4school.ru
Охота на дружественные числа
220 и 284
Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284.
Некоторые историки не считают Ямвлиха достойным доверия. Они хотели бы располагать свидетельствами современников Пифагора. К сожалению, с такими свидетельствами дела обстоят неважно, так как пифагорейская школа наряду с числовым мистицизмом и культом дружбы славилась еще и приверженностью к таинственности. Разглашение добытых математических знаний считалось кощунством. Сохранилось, например, предание о том, как после открытия Пифагором додекаэдра один из его учеников установил, что этот многогранник можно вписать в шар, и, вопреки традициям школы, обнародовал свое открытие. За такой «богохульный» поступок он понес наказание – утонул в море. Может быть, поэтому истинный первооткрыватель дружественных чисел предпочел остаться неизвестным.
Но вернемся к числам 220 и 284. Видимо, какое-то необычайное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.
220 = 1 · 2 2 · 5 · 11
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
и сумма его собственных делителей равна 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Значит, 284 – это как бы «второе я» числа 220, а 220 – как бы «второе я» числа 284, так как сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому. Красивый критерий дружественности пары чисел, не правда ли?
В средние века считалось, что талисманы с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви.
Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел. Возможно, эта заслуга принадлежит его последователям. В любом случае, 220 и 284 – первая, наименьшая из возможных и единственно известная (если не учитывать совершенные числа – дружественные, так сказать, самим себе) на протяжении более чем 15 последующих веков пара дружественных чисел.
Арабская атака
Указать какой-нибудь общий способ получения дружественных чисел ( что для совершенных чисел удалось сделать Евклиду) дающий эту пару и другие, желательно в бесконечном количестве – задача, представляющая значительные трудности и в наши дни. Правда, один способ такого рода указал еще в IX веке, примерно в 850 году, арабский математик Абу-Хасан Сабит ибн Курра ибн Марван аль-Харрани (836–901). Сабит был врачом и астрономом и в то же время одним из самых выдающихся мусульманских математиков и механиков. Последнюю часть жизни он жил в Багдаде, где был доверенным лицом и советником халифа аль-Мутадида. Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел звучит на современном языке так:
Если для натурального числа n > 1 все три числа:
являются простыми, то числа 2 n · pq и 2 n · r образуют пару дружественных чисел.
Эта формула даёт пары
220 и 284, 17 296 и 18 416, 9 363 584 и 9 437 056
соответственно для n = 2, 4, 7, но больше никаких пар дружественных чисел для n
Сабит получил лишь уже известную пифагорову пару дружественных чисел. Использовал ли он свою правило для отыскания дружественных чисел при n > 2, неизвестно.
Вторую пару – не по величине, а по календарному времени – дружественных чисел:
– открыл марокканский ученый ибн аль-Банна (1256–1321), около 1300 года. Уже в ХХ веке в одном из трактатов этого арабского ученого были обнаружены следующие строки:
Числа 17 296 и 18 416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ.
С течением времени формулы, предложенные Сабитом, были забыты, а его книгу открыли заново лишь в XIX веке. Впрочем, многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав дружественным числам. Однако большей частью в этих трактатах было мало новых сведений и много ошибок. Кроме того, современного читателя несколько удивит то поразительное единодушие, с которым авторы этих сочинений настаивают на возможности практического использования дружественных чисел. Например, ибн Хальдун прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый Маслама аль-Маджрити (ум. в 1007 г.) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви:
надо записать на чём-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому.
Ученый добавляет, что действенность этого способа он проверил на себе.
Выход европейцев
Независимо от ибн аль-Банна, спустя более чем 300 лет, в 1636 году, эту же пару открыл Пьер Ферма (1601–1665). Вскоре появилась третья «добыча», третья пара:
9 363 584 и 9 437 056,
в результате изысканий выполненных Рене Декартом (1596–1650) в 1638 году.
О датах и обстоятельствах этих двух открытий имеются самые точные сведения. Хотя и в то время проблема обмена новыми знаниями еще не была решена – издание книг занимало длительное время, а математических журналов не существовало, – тем не менее, дело обстояло значительно лучше, чем во времена Пифагора. Ученые письменно сообщали о своих открытиях французскому математику, физику, философу и богослову Марену Мерсенну (1588–1648), который на протяжении первой половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Такое извещение было равноценно письму, отправляемому в настоящее время в редакцию математического журнала. Ферма и Декарт также написали Мерсенну, который в предисловии к своей ближайшей книге назвал их открытия крупными достижениями гениальных математиков.
Великий охотник – Леонард Эйлер
Время отмерило еще 100 лет, когда на математическом небосклоне засияла звезда гения Леонарда Эйлера (1707–1783). С присущей ему основательностью и энергией включился Эйлер в начавшуюся охоту – поиск дружественных чисел. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.
Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди его «трофеев» оказались и пары нечетных дружественных чисел вида
где р, q, r – простые числа. Например:
Попробуйте самостоятельно найти собственные делители каждого из этих чисел и убедиться в том, что это действительно пары дружественных чисел.
В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять (!) различных методов выявления дружественных чисел. С примерным терпением и восхитительной виртуозностью он выполняет вычисления и преподносит изумленным современникам, занимающимся той же проблемой примерно с таким же увлечением, но безрезультатно, обильную добычу: ровно 59 пар дружественных чисел. И это в короткий период – с 1747 года по 1750 год!
Следующие 200 лет
По словам немецкого математика Вальтера Боро, дальнейшую историю поисков дружественных чисел можно сравнить с охотой за экзотическими бабочками:
найти новый экземпляр чрезвычайно трудно, но если вооружиться правильной методикой и необходимыми познаниями и проявить ловкость и настойчивость, то иногда все же удается его поймать (если к тому же еще и повезет). Очарование такой охоты и радость при каждой удаче, очевидно, и побуждали Эйлера не довольствоваться тремя, четырьмя примерами, а искать все новые и новые числа.
Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел, но только одной парой, был наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894), в 1851 году, а за ним – и тоже только одной парой, в 1866 году, – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини, тезка великого скрипача. Он «изловил» вторую – по величине – пару дружественных чисел:
Математический мир был потрясён – эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа!
Но превзойти Эйлера по количеству новых «пойманных экзотических бабочек» никому из математиков не удавалось на протяжении 200 лет, вплоть до середины ХХ века.
Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле – 62 новые пары к 1948 году – причем свою монографию Пуле озаглавил так: «La chasse aux nombres» («Охота за числами»).
Следующей рекордной «добычи» достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за период с 1968 по 1972 годы. И хотя он оперировал методами Эйлера, в несколько усовершенствованной форме, но при этом пользовался помощью ЭВМ, предшественников современных компьютеров.
Наше время
С наступлением эры вычислительной техники возник новый метод, о котором Эйлер не мог и помышлять, – перебирать все числа подряд, пока хватит машинного времени. Как отнеслись к этому грубому натиску конкурентов тонкие искусные ловцы, охотящиеся за числами подобно Эйлеру, Пуле и Ли? Трудно передать их чувства. Представьте себе страстного рыболова-любителя, неожиданно замечающего у ручья людей, которые просто осушают русло и затем спокойно собирают рыбу! Впрочем, при этом обнаружилось, что рыболовы удили весьма успешно и выловили почти всю рыбу, так что «браконьерам» досталась лишь довольно скромная добыча.
К настоящему времени счёт в коллекции дружественных чисел пошёл на миллионы. Из этой коллекции ровно 13 пар дружественных чисел размещаются на отрезке [1; 100 000]:
И, наконец, неизвестно существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел.
Вальтер Боро приглашает на охоту
В заключение я предлагаю вам отправиться на охоту за дружественными числами, вооружившись методом, существенно отличающимся от методов Эйлера. Речь идет об одном рецепте, по которому из уже известных дружественных чисел можно изготовить новые, значительно превосходящие исходные по величине.
Хотите получить свою собственную пару дружественных чисел? Тогда следуйте методу немецкого математика Вальтера Боро (р. 1945 г.):
1) Возьмите пару дружественных чисел вида
где s – простое число. Например,
где s = 71 – простое число.
2) Проверьте, является ли число
простым. В нашем случае p = 55 + 71 + 1 = 127 – простое.
Итак, при n = 1 числа
q1 = (55 + 1) · 127 1 – 1 = 7111 = 13 ·547
q2 = (55 + 1) · (71 + 1) · 127 1 – 1 = 512 063 = 97 · 5 279
не являются простыми.
q1 = (55 + 1) · 127 2 – 1 = 903 223
q2 = (55 + 1) · (71 + 1) · 127 2 – 1 = 65 032 127,
а значит и дружественную пару
Общительные числа
В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов или общительных чисел – замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел
1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953920
делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. А вот – пятёрка общительных чисел:
12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264.
Самый длинный из известных циклов найден в 1918 году и состоит из 28 чисел:
14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716.
Вот и вся история, которую я хотел вам рассказать сегодня. Как из каждой истории, из нее можно извлечь мораль. Некоторым вполне хватает невинного удовольствия, доставляемого подборкой курьезов и анекдотов. Тех же, кто стремится к серьезным знаниям и размышлениям, я хотел бы познакомить с мнением Леонарда Эйлера, высказанным во введении к его работе «De numeris amicabilibus» («О дружественных числах»):
Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и бесполезными, чем проблемы, касающиеся природы чисел и их делителей. В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода. А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полагали, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи. Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности.
Источники: Б.А. Кордемский. Великие жизни в математике (Москва, «Просвещение», 1995), В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е.К. Янцен. Живые числа. Пять экскурсий (Москва, «Мир», 1985), и Википедия.