Доказать что медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе

Медиана, проведенная к гипотенузе

Определим и докажем, чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Значит, у него углы при основании равны: ∠ OAC = ∠ OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠ B=90º- α.

4) Так как ∠ BCA=90º (по условию), то ∠ BCO=90º- ∠ OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠ BCO=90º-α, ∠ B=90º- α, следовательно, ∠ BCO= ∠ B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы:

Что и требовалось доказать.

Этот способ может быть использован для доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника в 7 классе, поскольку опирается только на материал, уже знакомый к моменту изучения данной темы.

Еще один способ доказательства свойства медианы, проведенной к гипотенузе, рассмотрим в следующий раз.

Источник

Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)

Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.

Эта приятная, лёгкая и полезная теория!

Медиана треугольника — коротко о главном

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана делит площадь треугольника пополам

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.

Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM

Длина медианы: \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1>

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Определение медианы треугольника

Это очень просто! Возьми треугольник.

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).

Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

Задача №2:

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Теорема о медиане и площади треугольника

Медиана делит площадь треугольника пополам

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle AM\) «\( \displaystyle h\)» – это \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle ABM>>=\frac <1> 2) B \( \displaystyle \triangle BMC\): «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle CM\) «\( \displaystyle h\)» – это опять \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle BMC>>=\frac <1> Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Теорема о трех медианах треугольника Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил? 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее. Доказательство теоремы о трех медианах треугольника Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\). Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось? Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит? А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\). Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть: Что из этого следует? Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны? Конечно же, только у параллелограмма! Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам. Снова смотрим на рисунок. Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Формула длины медианы треугольника Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем. Итак, \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1> Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно. Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения. Как с этим справиться? Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать. ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными. В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии. ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы. В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение. Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем. Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач. Источник Медиана равна половине гипотенузы Здравствуйте! Нужно доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, к которой проведена. Спасибо! Теорема. Медиана в прямоугольном треугольнике, которая проведена к гипотенузе, равна половине его гипотенузы. Докажем данную теорему. Доказательство. Построим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом АСВ. Проведем в нем медиану CD из прямого угла к стороне АВ. Согласно свойству медианы получим, что отрезок BD равен отрезку AD. Докажем, что медиана CD равна половине гипотенузы АВ. Достроим медиану CD так, что отрезок DM будет равен CD. В результате получим четырехугольник AMBC. Для начала докажем, что полученный четырехугольник АМВС является прямоугольником. Рассмотрим треугольники ADM и CDВ. Они равны, так как отрезки AD и AB равны, а также отрезки MD и CD равны, а углы между этими сторонами равны как вертикальные. Поскольку эти треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними), то их стороны АМ и ВС также равны. Если аналогично рассмотреть треугольники ADC и BDM, то они также равны, а соответственно их стороны АС и ВМ равны. Из этого следует, что четырехугольник АМВС является прямоугольником. По свойству диагоналей прямоугольника, их диагонали пересекаются в точке, которой делятся пополам. Поэтому, можно утверждать, что отрезок CD равен половине отрезка АВ. Таким образом, мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, равна половине его гипотенузы. Доказательство завершено. Источник Свойства прямоугольного треугольника Катеты прямоугольного треугольника Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы. Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°. Катет, равный половине гипотенузы Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным Определение прямоугольного треугольника: Свойство катетов прямоугольного треугольника: Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы. Равнобедренный прямоугольный треугольник Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Прямоугольный треугольник с углом в 30° Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° : Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° : Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. Центр описанной окружности Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным Источник Медиана в прямоугольном треугольнике Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник – част­ный слу­чай обыч­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му все свой­ства обыч­ных тре­уголь­ни­ков для пря­мо­уголь­ных со­хра­ня­ют­ся. Но есть и неко­то­рые част­ные свой­ства, обу­слов­лен­ные на­ли­чи­ем пря­мо­го угла. Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Доказательство: В самом деле, сумма углов любого треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90° (∠ C = 90°), поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°( ∠ А + ∠ В = 180° — 90° = 90°) Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной). Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше 90°. Значит ∠ C = 90°, является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: с > a и c > b Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов. Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника. Неравенство треугольника «В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны» Из данного неравенства сразу же следует свойство 3. Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше Дано: Δ ABС — прямоугольный треугольник Значит, прямоугольные треугольники Δ ABС = Δ AСD (по двум катетам: AC– общий, BC и CD– по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников. Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60° – равносторонний. Из этого следует, в частности, что AB = 2ВС Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла. Признаки равенства прямоугольных треугольников Читатели сайта «Спиши у Антошки уже прочитали «Признаки равенства треугольников». Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников: Прямоугольные треугольники равны если у них равны: . — два катета; Доказательство: в прямоугольных треугольниках:Δ ABС и Δ A1B1С1 ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1. — катет и прилежащий острый угол; «Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны» Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна 90°. Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы). Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1. — гипотенуза и острый угол. «Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны» «Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны» Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1 Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1 Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: ∠ C = 90° = ∠ C1. Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить:Δ ABС = Δ A1B1С1. Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 2 Решение: Решение: Решение: Решение: №14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13. Решение: Решение: В △ A B C два угла равны, значит он равнобедренный. №16. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла. Решение: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Решение: Решение: Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1). Свойства медианы в прямоугольном треугольнике Доказательства свойств Первое свойство Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины. Доказательство: Что и требовалось доказать. Второе свойство Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство: Что и требовалось доказать. Третье свойство Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности. Доказательство: Источник Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. → Вам также понравится Договор удбо сбербанк что это 18.04.202222.04.2022 admin 0 Fallout что делать в убежище 15 18.04.202218.04.2022 admin 0 Договор опциона что это 18.04.202222.04.2022 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.