Докажите что множество бесконечно тогда и только тогда когда оно равномощно
Здравствуйте,критерий бесконечности множества гласит,что: множество бесконечно тогда и только тогда,когда оно равномощно некоторому своему собственному подмножеству. Доказать нужно через достаточность и необходимость. Достаточность я доказал, а необходимость чтото не могу,помогите.
задан 8 Янв ’16 17:18
Trankuo
21 ● 1 ● 10
0% принятых
Конечное множество из n элементов не равномощно своему подмножеству из m элементов при m a(n+1); тогда в a(1) ничего не переходит. Остальные элементы, не входящие в подмножество, остаются на месте. Это даёт биекцию множества на его собственное подмножество (без элемента a(1)). Если нужны подробности, их можно привести.
Есть лемма (могу попробовать обосновать если надо): множество конечно тогда и только тогда когда множество его сюръективных эндоморфизмов совпадает с множеством его инъективных эндоморфизмов. Эндоморфизм для множества М это просто отображение М->M.
Теперь с помощью леммы докажем факт в вашей задаче в одну сторону: пусть М равномощно своему подмножеству L. Значит есть биекция f:М->L. Если расширить область значений f до М, то это будет инъективный эндоморфизм (разные элементы М по-прежнему имеют разные образы), но не сюръекция (ни у какого элемента из М/L не будет прообраза). Значит, сюръективные и инъективные эндоморфизмы не совпадают, значит М не конечно. В обратную сторону похожие рассуждения.
@R0b: лемма насчёт эндоморфизмов полезна сама по себе, но вообще-то она представляет собой чуть более сильный факт. Здесь же в вопросе речь о более простом утверждении.