Докажите что при движении отрезок отображается на равный ему отрезок

Понятие движения (окончание)

Докажем следующую теорему:

Пусть при заданном движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки М₁ и N₁ (рис. 327). Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN, Р₁ — точка, в которую отображается точка Р. Тогда МР + PN = MN. Так как при движении расстояния сохраняются, то

Из равенств (1) получаем, что М₁Р₁ + P₁N₁ = M₁N₁, и, значит, точка Р₁ лежит на отрезке M₁N₁ (если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство М₁Р₁ +P₁N₁ > M₁N₁). Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁.

Нужно ещё доказать, что в каждую точку Р₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р₁ — произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка Р при заданном движении отображается в точку Р₁. Из соотношений (1) и равенства M₁N₁ = М₁Р₁ + P₁N₁ следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому и треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.

Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что при движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а угол — на равный ему угол.

Источник

Докажите что при движении отрезок отображается на отрезок?

Докажите что при движении отрезок отображается на отрезок.

Свойства движения : 1.

Три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие (нележащие) на одной прямой.

3. Отрезок движением переводится в отрезок.

4. Движение соханяет меры углов.

5. Последовательное выполнение двух движений есть движение.

Доказательство свойства 3.

По свойству 2 прямая переходит в прямую, то прямая, содержащая отрезок, переходит в прямую, содержащую, отрезок.

А так движение сохраняет расстояние, от отрезок одной прямой переходит в равный ему отрезок другой прямой.

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол?

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C?

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C.

Докажите, что прямая AB параллельна прямой DE (Рисунок).

Отрезок am медиана треугольника abc причем ac>2am?

Отрезок am медиана треугольника abc причем ac>2am.

Докажите, что AB меньше AD.

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C?

На рисунке AB = BC, CD = DE, отрезок BD пересекает отрезок AE в точке C.

Докажите, что прямая AB параллельна прямой DE (Рисунок).

Отрезок MN и EF пересекаются в их середине P?

Отрезок MN и EF пересекаются в их середине P.

Докажите что EN || MF.

Докажите что при движении перпендикулярные прямые отображаются на перпендекулярные прямые?

Докажите что при движении перпендикулярные прямые отображаются на перпендекулярные прямые.

Четырехугольник abcd параллелограмм?

Четырехугольник abcd параллелограмм.

Отрезок ac диагональ.

Докажите что треугольники abc и cda равны.

Решение смотри в файле.

84. Треугольник равнобедренныйравнобедренный, значит углы при основании равны и смежные в сумме дают 180°.

1. с помощью линейки. 2. визуально.

Проводи пунктир между ними и всо.

Немного хаотично, но думаю разберетесь.

Источник

Понятие движения

Урок 40. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие движения»

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним, что если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры

Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры.

Повторим, что примерами отображения плоскости на себя является осевая и центральная симметрии.

У осевой симметрии есть одно очень важное свойство: осевая симметрия – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки M₁, и N₁ – симметричные им точки относительно прямой a. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой a, прямая a перпендикулярна прямым MM₁ и NN₁ и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NON₁ отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведенными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

,

Таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M₁ и N₁. Мы с вами рассмотрели один случай расположения точек. Остальные случаи вы можете рассмотреть самостоятельно и убедитесь, что и в остальных случаях эти расстояния будут равны.

Обобщая, можно сказать, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояние между точками. Любое отображение, обладающее этим свойством, называется движением или по-другому – перемещением.

Давайте сформулируем определение: движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Почему такое отображение называется движением? Если рассмотреть осевую симметрию, то она представляет собой поворот плоскости в пространстве на 180º вокруг оси А.

Нетрудно убедится в том, что центральная симметрия плоскости также является движением.

Рассмотрим точки М и N и точки M₁, N₁ симметричные точкам М и N относительно точки О.

Рассмотрим треугольники MNO и M₁ON₁.

вертикальные

То есть и при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Пусть при некотором движении плоскости концы М и N отрезка MN отображаются в точки M₁ и N₁. Тогда нам надо доказать, что весь отрезок MN отображается на отрезок M₁N₁. Возьмем на отрезке МN произвольную точку P. И построим соответствующую ей точку P₁.

Поскольку точка P – принадлежит отрезку МN, то можно записать, что

.

Поскольку при движении расстояние между точками сохраняется, то

Складывая покомпонентно два последних равенства, получим,

Поскольку точку P на отрезке MN мы выбирали произвольно, то, значит, все точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M₁N₁. Теперь докажем, что в каждую точку P₁ отрезка M₁N₁ отображается какая-нибудь точка P отрезка MN. Пусть точка P₁ – произвольная точка отрезка M₁N₁, и точка P при заданном движении отображается в точку P₁.

Тогда из этих соотношений и этого равенства получим,

Таким образом, теорема доказана.

Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Доказать это следствие не сложно. Мы доказали, что при движении отрезок отображается в равный ему отрезок. То есть при отображении треугольника мы получим треугольник с равными сторонами, значит, полученный треугольник будет равен исходному по трем сторонам.

Задача. Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.

, ,

по следствию

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

Итак, пусть при некотором движении две параллельные прямые a и b отображаются в прямые a₁ и b₁. Определим расстояние между параллельными прямыми. Для этого на прямой a возьмем произвольную точку a и проведем перпендикуляр из точки А на прямую b. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между параллельными прямыми a и b. Мы знаем, что расстояние между параллельными прямыми одинаково, в каком бы месте мы его не измеряли. То есть, если мы измеряем расстояние между прямыми в точке C, то оно будет равно отрезку AB. Отметим на прямых, в которые отобразились прямые a и b точки, соответствующие точкам А, B, C, D. Поскольку расстояния между точками сохраняется при движении, то расстояние между точками А₁, B₁, C₁, D₁ будет равно расстоянию между точками А, B, C, D соответственно. То есть расстояния между прямыми, которые получились в результате движения тоже одинаковое, где бы мы это расстояние не мерили, то есть эти прямые параллельны.

Задача. Доказать, что при движении: параллелограмм отображается на параллелограмм, трапеция отображается на трапецию, ромб отображается на ромб, прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат – на квадрат.

Решать эту задачу мы будем, используя предыдущие задачи, теорему и следствие. Мы с вами уже доказали, что равные отрезки отображаются в равные отрезки, параллельные прямые – в параллельные прямые, углы в равные им углы.

Зная все это, решение этой задачи становится очевидным. Поскольку стороны параллелограмма параллельны и равны, то они отобразятся в параллельные и равные отрезки.

Тогда получим, что параллелограмм отобразится в четырехугольник, стороны которого параллельны и равны. А такой четырехугольник является параллелограммом.

Аналогично, поскольку основания трапеции – параллельны, то они отобразятся в параллельные отрезки. Углы трапеции отобразятся в равные им углы, значит, трапеция отобразится в трапецию.

Стороны ромба попарно параллельны и равны, значит, у фигуры, в которую отобразится ромб стороны будут попарно параллельны и равны, то есть ромб отобразится в ромб.

Стороны прямоугольника попарно параллельны и равны, углы между сторонами равны 90º. Значит, при движении прямоугольник отобразится в четырех угольник, стороны которого попарно параллельны, равны, и углы между сторонами равны 90º. То есть прямоугольник отобразится в прямоугольник.

Стороны квадрата попарно параллельны и равны, значит у фигуры, в которую отобразиться квадрат стороны будут попарно параллельны и равны. Углы квадрата равны 90º, значит, и у фигуры, в которую отобразится квадрат углы будут по 90º. То есть фигура в которую отобразится квадрат – это квадрат.

Подведем итоги урока. Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие движения. Мы сказали, что движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния. Показали, что осевая и центральная симметрии являются движением. Доказали, что отрезок отображается на отрезок, параллельные прямые отображаются в параллельные прямые. Треугольник отображается в треугольник. Угол отображается на равный ему угол.

Источник

Понятие движения

Пусть прямая — ось симметрии. Возьмем две произвольные точки А и В, которые лежат по одну сторону от оси симметрии, и симметричные относительно прямой им точки А₁ и В₁:

Из точек А и А₁ проведем перпендикуляры АС и А₁С₁ к прямой ВВ₁. Рассмотрим АВС и А₁В₁С₁: Они являются прямоугольными. Нам известно, что две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются (т.е. являются параллельными). Значит, из того что АА₁ и ВВ₁, следует, что то АА₁ВВ₁, аналогично, АСА₁С₁. Т.е. мы получили, что в четырехугольнике АСС₁А₁ стороны попарно параллельны, значит, этот четырехугольник является параллелограммом, а, следовательно, АС=А₁С₁. Так как АА₁ВВ₁, то АО₁=СО₂=О₂С₁=О₁А₁ (данное равенство верно, так как вершины прямоугольника симметричны относительно серединного перпендикуляра, который проведен к его сторонам), поэтому ВС=ВО₂—СО₂=О₂В₁—О₂С₁=С₁В₁. Итак, мы получили, что в рассматриваемых треугольниках АС=А₁С₁ и ВС=С₁В₁, значит, АВС=А₁В₁С₁ (по двум катетам). Следовательно, АВ=А₁В₁, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁.

Рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по разные стороны от оси симметрии:

При других расположениях точек А, В и А₁, В₁ также получается, что АВ=А₁В₁:

Итак, мы получили, что осевая симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Так как точка А симметрична точке А₁ и В симметрична точке В₁, то А₁О=ОА и В₁О=ОВ. АОВ=В₁ОА₁, так как они вертикальные. Следовательно, АОВ=В₁ОА₁ (по I признаку равенства треугольников) и АВ=А₁В₁, то есть расстояние между точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁. Значит, центральная симметрия является отображением, которое сохраняет расстояния между точками.

Любое отображение, которое сохраняет расстояния между точками называется движением (или перемещением).

Поясним на примере осевой симметрии, по какой причине отображение, которое сохраняет расстояния, называют движением:

На рисунке видно, что осевую симметрию можно представить как поворот плоскости в пространстве на 180 0 вокруг оси .

Теорема

Доказательство

Дано: движение, отрезок АВ, А отображается в А₁, В отображается в В₁

Доказать, что отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁

Доказательство:

Возьмем произвольную точку САВ, которая отображается в точку С₁.

АВ=АС+СВ.

При движении расстояния сохраняются, поэтому АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁ и СВ=С₁В₁. (1)

Из данных равенств имеем, что А₁В₁=АВ=АС+СВ=А₁С₁+С₁В₁, следовательно, С₁А₁В₁ (если предположить обратное, то будет выполнятся неравенство А₁С₁+С₁В₁>A₁B₁). Значит, точки отрезка АВ отображаются в точки отрезка А₁В₁.

Возьмем произвольную точку С₁А₁В₁, при этом при заданном движении точка С отображается в данную точку С₁. Из соотношений (1) и равенства А₁В₁=А₁С₁+С₁В₁, следует, что АС+СВ=АВ, а, значит, САВ. Т.е. в каждую точку С₁ отрезка А₁В₁ отображается какая-нибудь точка С отрезка АВ. Теорема доказана.

Следствие

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник