Eigenvals в маткаде что это
Встроенные функции MathCAD
Часто используемые функции
ceil(y) – возвращает наименьшее целое, большее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
cols(A) – число столбцов матрицы А.
csort(B,n) – сортирует строки матрицы В таким образом, чтобы расположить элементы столбца n в порядке возрастания. Нумерация столбцов по умолчанию начинается с нуля:
eigenvals(A) – определяет вектор собственных значений для квадратной матрицы А:
find(x,y,…) – возвращает значения x,y,…, удовлетворяющие ограничениям: равенствам или неравенствам, заданным в блоке given решения уравнений. Число уравнений должно равняться числу неизвестных.
floor(y) – возвращает наибольшее целое, меньшее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
identity(n) – создает единичную матрицу размером
length(v) – длина вектора v.
max(v) – максимальный по значению элемент вектора v.
min(v) – минимальный по значению элемент вектора v.
mean(M) – среднее арифметическое элементов вектора или матрицы.
median(v) – медиана вектора. Элементы вектора должны быть заданы в порядке возрастания:
rbeta (m, s 1, s2)Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих бэта-распределение. 
0″ style=»display: inline; «> есть параметры формы.
rgamma (m, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих гамма- распределение, 
0″ style=»display: inline; «> есть параметр формы.
rgeom (m, p) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение. 
.
rlogis (m, l, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих логистическое распределение, в котором l является п а раметром расположения, а 0″ style=»display: inline; «> есть параметр масштаба.
rpois (m,d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона. 
0″ style=»display: inline; «>.
rt (m, d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих t-распределение Стьюдента. 
0″ style=»display: inline; «>.
runif (m, a, b) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и a являются граничными точками интервала. 
.
rnd (x) Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и x. Эквивалент runif (1, 0, x).
round(y,n) – округляет вещественное число y до n знаков справа от десятичной точки. Если n отсутствует, то y округляется до ближайшего целого числа. Если n Нумерация строк по умолчанию начинается с нуля.
submatrix(M,ir,jr,ic,jc) – подматрица, состоящая из элементов матрицы М, содержащихся в строках от ir до jr и столбцах от ic до jc:
Встроенные функции MathCAD
Часто используемые функции
ceil(y) – возвращает наименьшее целое, большее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
cols(A) – число столбцов матрицы А.
csort(B,n) – сортирует строки матрицы В таким образом, чтобы расположить элементы столбца n в порядке возрастания. Нумерация столбцов по умолчанию начинается с нуля:
eigenvals(A) – определяет вектор собственных значений для квадратной матрицы А:
find(x,y,…) – возвращает значения x,y,…, удовлетворяющие ограничениям: равенствам или неравенствам, заданным в блоке given решения уравнений. Число уравнений должно равняться числу неизвестных.
floor(y) – возвращает наибольшее целое, меньшее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
identity(n) – создает единичную матрицу размером
length(v) – длина вектора v.
max(v) – максимальный по значению элемент вектора v.
min(v) – минимальный по значению элемент вектора v.
mean(M) – среднее арифметическое элементов вектора или матрицы.
median(v) – медиана вектора. Элементы вектора должны быть заданы в порядке возрастания:
rbeta (m, s 1, s2)Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих бэта-распределение. 0″ style=»display: inline; «> есть параметры формы.
rgamma (m, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих гамма- распределение, 0″ style=»display: inline; «> есть параметр формы.
rgeom (m, p) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение. .
rlogis (m, l, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих логистическое распределение, в котором l является п а раметром расположения, а 0″ style=»display: inline; «> есть параметр масштаба.
rpois (m,d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона. 0″ style=»display: inline; «>.
rt (m, d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих t-распределение Стьюдента. 0″ style=»display: inline; «>.
runif (m, a, b) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и a являются граничными точками интервала. .
rnd (x) Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и x. Эквивалент runif (1, 0, x).
round(y,n) – округляет вещественное число y до n знаков справа от десятичной точки. Если n отсутствует, то y округляется до ближайшего целого числа. Если n Нумерация строк по умолчанию начинается с нуля.
submatrix(M,ir,jr,ic,jc) – подматрица, состоящая из элементов матрицы М, содержащихся в строках от ir до jr и столбцах от ic до jc:
Eigenvals в маткаде что это
Mathcad содержит функции для обычных в линейной алгебре действий с массивами. Эти функции предназначены для использования с векторами и матрицами. Если явно не указано, что функция определена для векторного или матричного аргумента, не следует в ней использовать массивы как аргумент. Обратите внимание, что операторы, которые ожидают в качестве аргумента вектор, всегда ожидают вектор-столбец, а не вектор-строку. Чтобы заменить вектор-строку на вектор-столбец, используйте оператор транспонирования [Ctrl]1.
Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете также иметь несколько дополнительных функций, определенных для векторов. Эти функции скорее предназначены для анализа данных, чем для действий с матрицами. Они обсуждены в Главе “Встроенные функции”.
Размеры и диапазон значений массива
В Mathcad есть несколько функций, которые возвращают информацию относительно размеров массива и диапазона его элементов. Рисунок 10 показывает, как эти функции используются.
| Имя функции | Возвращается. |
| rows(A) | Число строк в массиве A. Если А — скаляр, возвращается 0. |
| cols(A) | Число столбцов в массиве A. Если A скаляр, возвращается 0. |
| length(v) | Число элементов в векторе v. |
| last(v) | Индекс последнего элемента в векторе v. |
| max(A) | Самый большой элемент в массиве A. Если A имеет комплексные элементы, возвращает наибольшую вещественную часть плюс i, умноженную на наибольшую мнимую часть. |
| min(A) | Самый маленький элемент в массиве A. Если A имеет комплексные элементы, возвращает наименьшую вещественную часть плюс i, умноженную на наименьшую мнимую часть. |
Рисунок 10: Векторные и матричные функции для нахождения размера массива и получения информации относительно диапазона элементов.
Специальные типы матриц
Можно использовать следующие функции, чтобы произвести от массива или скаляра матрицу специального типа или формы. Функции rref, diag и geninv доступны только в Mathcad PLUS.
Рисунок 11: Функции для преобразования массивов. Обратите внимание, что функции diag и rref являются доступными только в Mathcad PLUS.
Специальные характеристики матрицы
Можно использовать функции из следующей таблицы, чтобы найти след, ранг, нормы и числа обусловленности матрицы. Кроме tr, все эти функции доступны только в Mathcad PLUS.
| Имя функции | Возвращается. |
| tr(M) | Сумма диагональных элементов, называемая следом M. |
| Е rank(A) | Ранг вещественной матрицы A. |
| Е norm1(M) | L1 норма матрицы M. |
| Е norm2(M) | L2 норма матрицы M. |
| Е norme(M) | Евклидова норма матрицы M. |
| Е normi(M) | Равномерная норма матрицы M. |
| Е cond1(M) | Число обусловленности матрицы M, основанное на L1 норме. |
| Е cond2(M) | Число обусловленности матрицы M, основанное на L2 норме. |
| Е conde(M) | Число обусловленности матрицы M, основанное на евклидовой норме. |
| Е condi (M) | Число обусловленности матрицы M, основанное на равномерной норме. |
Формирование новых матриц из существующих
В Mathcad есть две функции для объединения матриц вместе — бок о бок, или одна над другой. В Mathcad также есть функция для извлечения подматрицы. Рисунки 12 и 13 показывают некоторые примеры.
| Имя функции | Возвращается. |
| augment (A, B) | Массив, сформированный расположением A и B бок о бок. Массивы A и B должны иметь одинаковое число строк. |
| stack (A, B) | Массив, сформированный расположением A над B. Массивы A и B должны иметь одинаковое число столбцов. |
| submatrix (A, ir, jr, ic, jc) | Субматрица, состоящая из всех элементов, содержащихся в строках с ir по jc и столбцах с ic по jc. Чтобы поддерживать порядок строк и-или столбцов, удостоверьтесь, что ir |
Рисунок 12: Объединение матриц функциями stack и augment.
Рисунок 13: Извлечение субматрицы из матрицы при помощи функции submatrix.
Собственные значения и собственные векторы
В Mathcad существуют функции eigenval и eigenvec для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. В Mathcad PLUS также есть функция eigenvecs для получения всех собственных векторов сразу. Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете также иметь доступ к genvals и genvecs для нахождения обобщенных собственных значений и собственных векторов. Рисунок 14 показывает, как некоторые из этих функций используются.
Рисунок 14: Нахождение собственных значений и собственных векторов.
Рисунок 15: Использование eigenvecs для одновременного нахождения всех собственных векторов.
Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы будете иметь доступ к некоторым дополнительным функциям для выполнения специальных разложений матрицы: QR, LU, Холесского, и по сингулярным базисам. Некоторые из этих функций возвращают две или три матрицы, соединенные вместе в одну большую матрицу. Используйте submatrix, чтобы извлечь эти две или три меньшие матрицы. Рисунок 16 показывает пример.
Рисунок 16: Использование функции submatrix для извлечения результата из функции rq. Используйте submatrix, чтобы извлечь подобным образом результаты из функций lu и svd. Обратите внимание, что эти функции доступны только в Mathcad PLUS.
Решение линейной системы уравнений
Если Вы используете Mathcad PLUS, Вы сможете использовать функцию lsolve для решения линейной системы уравнений. Рисунок 17 показывает пример. Обратите внимание, что M не может быть ни вырожденной, ни почти вырожденной для использования с lsolve. Матрица называется вырожденной, если её детерминант равен нулю. Матрица почти вырождена, если у неё большое число обусловленности. Можно использовать одну из функций, описанных на странице 204, чтобы найти число обусловленности матрицы.
Возвращается.
x=v.Если Вы не используете Mathcad PLUS, Вы всё-таки можете решать систему линейных уравнений, используя обращение матрицы, как показано в нижнем правом углу Рисунка 9.
Рисунок 17: Использование lsolve для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Встроенные функции MathCAD
Часто используемые функции
ceil(y) – возвращает наименьшее целое, большее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
cols(A) – число столбцов матрицы А.
csort(B,n) – сортирует строки матрицы В таким образом, чтобы расположить элементы столбца n в порядке возрастания. Нумерация столбцов по умолчанию начинается с нуля:
eigenvals(A) – определяет вектор собственных значений для квадратной матрицы А:
find(x,y,…) – возвращает значения x,y,…, удовлетворяющие ограничениям: равенствам или неравенствам, заданным в блоке given решения уравнений. Число уравнений должно равняться числу неизвестных.
floor(y) – возвращает наибольшее целое, меньшее или равное y. Значение y должно быть вещественным числом:
identity(n) – создает единичную матрицу размером
length(v) – длина вектора v.
max(v) – максимальный по значению элемент вектора v.
min(v) – минимальный по значению элемент вектора v.
mean(M) – среднее арифметическое элементов вектора или матрицы.
median(v) – медиана вектора. Элементы вектора должны быть заданы в порядке возрастания:
rbeta (m, s 1, s2)Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих бэта-распределение. 0″ style=»display: inline; «> есть параметры формы.
rgamma (m, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих гамма- распределение, 0″ style=»display: inline; «> есть параметр формы.
rgeom (m, p) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение. .
rlogis (m, l, s) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих логистическое распределение, в котором l является п а раметром расположения, а 0″ style=»display: inline; «> есть параметр масштаба.
rpois (m,d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона. 0″ style=»display: inline; «>.
rt (m, d) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих t-распределение Стьюдента. 0″ style=»display: inline; «>.
runif (m, a, b) Возвращает вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и a являются граничными точками интервала. .
rnd (x) Возвращает равномерно распределенное случайное число между 0 и x. Эквивалент runif (1, 0, x).
round(y,n) – округляет вещественное число y до n знаков справа от десятичной точки. Если n отсутствует, то y округляется до ближайшего целого числа. Если n Нумерация строк по умолчанию начинается с нуля.
submatrix(M,ir,jr,ic,jc) – подматрица, состоящая из элементов матрицы М, содержащихся в строках от ir до jr и столбцах от ic до jc:
Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц
Для решения задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:
— eigenvals(A) – вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
— eigenvecs(A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А.
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы с помощью MathCad.
1. Задаем системную переменную и матрицы А (исходную) и Е (единичную): 
2. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А с помощью встроенных функций MathCad:
3. Находим собственные значения и собственные векторы матрицы А вручную. Для этого составляем характеристический определитель и вычисляем характеристический полином:
4. Приравниваем его нулю нажатием Ctrl+= (получаем характеристическое уравнение):
5. Находим корни характеристического уравнения с помощью символьных вычислений (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы®Переменные®Вычислить, затем нажимаем символ =)
Это и есть собственные значения матрицы А.
7. Далее найдем собственные векторы матрицы А вручную. Для этого запишем левую часть системы уравнений:
,
где x1, x2 – элементы собственных векторов, соответствующих собственным значениям λ.
8. Получим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1:
Запишем каждое уравнение системы отдельно (приравниваем их нулю нажатием Ctrl+=)
Из первого уравнения выразим х2 (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы® Переменные® Вычислить)
Принимаем х1=0.869 (согласно пункту 2)
Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1:
9. Получим собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2:
Запишем каждое уравнение системы отдельно (приравниваем их нулю нажатием Ctrl+=)
Из первого уравнения выразим х2 (подсвечиваем λ нажатием мыши и выбираем в меню Символы® Переменные® Вычислить)
Принимаем х1=-0.604 (согласно пункту 2)
Тогда х2= –1.319×(–0.604)=0.797
Собственный вектор, соответствующий собственному значению λ2:
Для собственных векторов матрицы справедливы следующие утверждения:
1. Собственные векторы матрицы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
2. Если число различных корней матрицы n-го порядка равно n, то в пространстве 
существует базис из собственных векторов матрицы А (непосредственно следует из свойства 1).
3. Базис из собственных векторов матрицы А существует в том и только в том случае, когда сумма размерностей собственных подпространств равна n. Такая матрица называется матрицей простой структуры. Если 
– матрица простой структуры, то любой вектор из является линейной комбинацией линейно независимой системы 
собственных векторов этой матрицы.
4. Матрица простой структуры подобна диагональной матрице, т.е. 
, такая что
, (8)
где 
– собственные значения матрицы .
5. Все корни характеристического многочлена симметрической матрицы действительны, т.е.
.
6. Собственные векторы симметрической матрицы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
7. Для симметрической матрицы в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Решим еще два примера на нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы.
Пример 1. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
.
Решение. Находим корни характеристического многочлена
= 
=
= 
:
, 
.
Ищем собственные векторы с собственным значением 
, как решение системы 
:
.
Общее решение системы 
. Фундаментальная система решений или базис пространства решений
, 
.
Собственный вектор для 
находим из системы 
:
,
.
Ответ. , – собственные значения,
, , – собственные векторы.
Пример 2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов симметрической матрицы
.
Находим характеристический многочлен матрицы :
. Целые корни ищем среди делителей свободного члена:
.
Найдем собственные векторы с собственным значением 
.
.
Базис в пространстве решений 
, 
.
Так как мы ищем ортонормированный базис, то ортогонализуем систему 
, 
. Получаем 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Нашли ортонормированный базис в собственном подпространстве с собственным значением .
Найдем собственный вектор для собственного значения 
:
.
Решаем методом Гаусса, получим 
, 
, 
.
Ответ. Искомый ортонормированный базис 
.
Преобразование подобия (8) можно использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу вычисления её собственных значений свести к аналогичной задаче для более простой матрицы. Очевидно, самым лучшим упрощением исходной матрицы было бы приведение её к треугольному виду:
Тогда характеристическая матрица С так же имела бы треугольный вид. Как известно, определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен в этом случае имеет вид:
(9)
Собственные значения матрицы, равные корням этого многочлена, можно получить сразу.
(10)
Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны её диагональным элементам.
Некоторые типы матриц удается привести к треугольному виду с помощью преобразований подобия. В частности, симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду. На практике часто используется приведение симметрической матрицы к трехдиагональному виду.
Существует ряд методов, основанных на преобразовании подобия, позволяющие привести исходную матрицу к более простой структуре.