Для чего нужна теорема
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Зачем и каким образом учить доказательства теорем?
 |
| Заслуженный участник |
 |
Хорошее стихотворение запоминается легко
| Заслуженный участник |
 |
Существуют теоремы, в которых большое значение имеет сам факт, утверждаемый теоремой. И существуют теоремы, в которых большое значение имеет идея доказательства, а факт по сравнению с ней более второстепенен.
Идея доказательства может быть важна, если вы математик, и хотите доказать аналогичную теорему. И она может быть важна, если вы не математик, но хотите применить такую или аналогичную теорему. Не возясь с доказательствами и точными формулировками, но опираясь на интуитивное знание, что некоторый факт верен. Или может быть сделан верным какими-то оговорками, углубляться в которые вас сейчас не интересует.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось Padawan 28.03.2012, 21:04, всего редактировалось 2 раз(а).
Доказательство даже важнее формулировки )
| Заслуженный участник |
|
Это когда как. Навскидку пара примеров (из практически значимых).
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
Последний раз редактировалось ewert 28.03.2012, 23:23, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заморожен |
 |
Последний раз редактировалось Профессор Снэйп 29.03.2012, 16:56, всего редактировалось 1 раз.
Доказательства не надо заучивать! В них надо досконально разбираться, тогда они запомнятся сами. Если этого вдруг не происходит, то, скорее всего, разбор доказательства подменяется имитацией сего действия.
У меня лучше всего получалось действовать следующим образом. Прочитав очередную формулировку теоремы, я первым делом пытался доказать её самостоятельно. Если не получалось, начинал постепенно читать доказательство, строчка за строчкой, и после прочтения каждой фразы возобновлял попытки самостоятельного доказательства.
| Заслуженный участник |
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Геометрия: зачем нужны доказательства? Часть 2.
Геометрия: зачем нужны доказательства?
Однажды французский юрист и по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма.
Эта одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверное, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (3-й век) «Арифметика», которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика:
«Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях».
Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы.
Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений?
История Великой теоремы увлекательна, как приключение во времени. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида
не имеет решений в целых числах при показателе степени n > 2. Это собственно и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность.
Зовут его Эндрю Вайлс. Он англичанин, но последние годы живет и работает в Принстонском университете США. Родился он в 1953 году в Кембридже, здесь же учился и был научным сотрудником. О существовании теоремы Ферма он узнал в десятилетнем возрасте и поклялся себе, что ее докажет. Многие годы он занимался этой проблемой, тщательно скрывал свою тайну, не желая прослыть чудаком.
Профессор долгое время готовился к своей работе и 7 лет, начиная с 35-летнего возраста, работал непосредственно над решением, уже зная стратегию доказательства. В 1994 году он обнародовал свое решение, занявшее свыше 200 страниц.
Математики были потрясены, газеты всего мира оповестили об эпохальном событии. Однако. вскоре коллеги Вайлса нашли ошибку в его рассуждениях, причем ошибку фундаментальную. Ему не оставалось ничего другого, как забрать свои выкладки и снова углубиться в расчеты. Он потратил на новый вариант доказательства еще год лихорадочной работы, торопясь, как бы его не обогнали конкуренты. Затем снова представил свою работу на суд общественности. На сей раз оказалось, что ошибки в его рассуждениях нет.
За два года, которые были предусмотрены Вольскеном на тщательную проверку доказательства, ошибки так и не обнаружили. Премию вручили. Что дальше?
Сам Эндрю Вайлс говорит, что теорема была его путеводной звездой, которая теперь погасла. Так ли это? Математики считают, что для доказательства теоремы Вайлс построил как бы мост между двумя областями математики. И найденный прием будет еще неоднократно использован другими учеными. Кроме того, Вайлс объединил в своем доказательстве многие теории его предшественников, продвинув таким образом вперед всю математическую науку. Теперь Великая теорема Ферма представляет собой всего лишь частный случай нового раздела математики.
Однако ложка дегтя, как известно, не портит бочку меда. При вручении премии ехидные журналисты не преминули заметить, что данная работа вовсе не является доказательством самого Ферма, т.к. раздела математики, введенного в обиход Вайлсом, просто не существовало 300 лет назад. И 200 страниц вычислений Ферма никак не мог бы удержать в памяти. Обыск же, учиненный в его доме математиками в свое время, так и не дал результатов.
Да, не является. Так разве это плохо? Будет над чем поломать голову!
Вот такая история.
Продолжение следует.
Теорема
Из Википедии — свободной энциклопедии
Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.
Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и четко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.
Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.
Теорема
Теоре́ма (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.
В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Полезное
Смотреть что такое «Теорема» в других словарях:
Теорема Лёба — Теорема Лёба теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику… … Википедия
ТЕОРЕМА — (от греч. theoreo – рассматриваю) научное положение. Философский энциклопедический словарь. 2010. ТЕОРЕМА (греч. ϑεώρημα, от ϑεωρέω – рассматриваю, исследу … Философская энциклопедия
ТЕОРЕМА — (греч. theorema, от theorein рассматривать). Предложение, долженствующее быть подтвержденным; истина, требующая доказательства, преимущественно в математике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТЕОРЕМА… … Словарь иностранных слов русского языка
ТЕОРЕМА — Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок
теорема — См … Словарь синонимов
ТЕОРЕМА — (греч. theorema от theoreo рассматриваю), в математике предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один… … Большой Энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА — ТЕОРЕМА, утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА … Научно-технический энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА — ТЕОРЕМА, теоремы, жен. (от греч. theorema, букв. зрелище) (научн.). Положение, справедливость которого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова… … Толковый словарь Ушакова
ТЕОРЕМА — «ТЕОРЕМА» (Теогеmа) Италия, 1968, 100 мин. Философская драма. Возможно, одна из самых противоречивых картин в истории мирового кино. Она вызвала взаимоисключающие трактовки, нападки на режиссера слева и справа, расколола представителей Ватикана… … Энциклопедия кино
Теорема Бёма — Якопини положение структурного программирования, согласно которому любой исполняемый алгоритм может быть преобразован к структурированному виду, то есть такому виду, когда ход его выполнения определяется только при помощи трёх структур… … Википедия
Значение слова «теорема»
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Наиболее знаменитыми являются: теорема Пифагора, теорема Ферма.
ТЕОРЕ’МА, ы, ж. [от греч. theōrēma, букв. зрелище] (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова т. || Положение, к-рое может быть выведено из основных положений логики (филос.).
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
теоре́ма
1. матем. положение, утверждение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путём доказательства ◆ Если вы не знаете, какие углы называются смежными, не знаете теоремы о сумме смежных углов, то вы это доказательство не поймёте. А. В. Погорелов, «Геометрия, учебник для 7-11 классов», 1999 г.
Фразеологизмы и устойчивые сочетания
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: вчистую — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?