Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вопрос 1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ для простых Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π“Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ простой, Ссли Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число плоских Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ плоским Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ плоскости, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (рис. 294).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ простой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ являСтся Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΉ плоский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Он разбиваСтся Π½Π° плоскиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ диагоналями, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ (рис. 295). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ рассматриваСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ плоскиС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ поэтому ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· слово «ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ» Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ.

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ для простых Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

1) Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ.

2) Если Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° разбиваСтся Π½Π° части, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ простыми Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ частСй.

3) ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ измСрСния, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сторону 1 ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… (\(ΠΌ^2\)). Если сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° 100 ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π³Π΅ΠΊΡ‚Π°Ρ€Π°Ρ…. Если сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ 1 ΠΊΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

Вопрос 2. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ сторон.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. НайдСм ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами \(a,\, b\). Для этого сначала Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями относятся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… высоты.

\[\left(\frac\right)m \leq AB_1 \leq \left(\frac\right)(m+1).\]

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° \(AB\), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ дСлСния прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ основанию \(AD\). Они Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(ABCD\) Π½Π° \(n\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ \(\frac\). ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(AB_1C_1D\) содСрТит ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ \(m\) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², считая снизу, ΠΈ содСрТится Π² \(m+1\) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

\[\left(\frac\right)m \leq S_1 \leq \left(\frac\right)(m+1).\]

Из нСравСнств (*) ΠΈ (**) ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° числа \(\frac\) ΠΈ \(\frac\) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ \(\frac\) ΠΈ \(\frac + \frac<1>\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° \(\frac<1>\). А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(n\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ большим, Ρ‚ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ \(\frac = \frac\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 1, \(a\) ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами \(a,\, b\) (рис. 296, Π±). Бравнивая ΠΈΡ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ эти равСнства ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами \(a,\, b\) вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° \(S = ab\).

Вопрос 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр \(AE\) ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ \(A\) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ \(CD\). ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ \(ABCE\) Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ADE\).

ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр \(BF\) ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ \(B\) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ \(CD\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ \(ABCE\) Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(BCF\).

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADE\) ΠΈ \(BCF\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\), Ρ‚.Π΅. Ρ€Π°Π²Π½Π° \(AB\cdot BF\).

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ \(BF\) называСтся высотой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ сторонам \(AB\) ΠΈ \(CD\).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

Вопрос 4. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ высоту:

Вопрос 5. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π³ΠΎ сторон Π½Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π³ΠΎ сторон Π½Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

\[S = \frac<1><2>AB\cdot AC\cdot \sin A.\]

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ \(ABC\) высоту \(BD\). ИмССм

Вопрос 6. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы оснований Π½Π° высоту.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы Π΅Π΅ оснований Π½Π° высоту: \(S = \frac<2>\cdot h\).

Вопрос 7. Как относятся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€?

Если коэффициСнт подобия Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(k\), Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) Ρ€Π°Π· большС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). Π’ частности, стороны ΠΈ высоты Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) Ρ€Π°Π· большС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сторон ΠΈ высот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Бкладывая эти равСнства ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ подобия \(k\) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ \(F»\) ΠΈ \(F’\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ относятся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Вопрос 8. Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Если Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° простая, Ρ‚. Π΅. допускаСт Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ опрСдСляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Данная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ \(S\), Ссли ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ содСрТащиС Π΅Π΅ простыС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ содСрТащиСся Π² Π½Π΅ΠΉ простыС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с площадями, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΎΡ‚ \(S\). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ окруТности Π½Π° радиус.

Радиусы, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(P_1\), Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° \(n\) Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(AOD\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S_ = AC\cdot OC = AC\cdot AO\cdot \cos\alpha\), Ρ‚ΠΎ

\[S_ = (nAC)AO\cos\alpha = \frac<2>\cos\alpha,\]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(P_1\), содСрТащийся Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(P_2\), содСрТащий ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом \(n\) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ \(p\) отличаСтся сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ \(l\) окруТности, Π° \(\cos\alpha\) сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(P_1\) ΠΈ \(P_2\) сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ \(\frac<2>\). Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Вопрос 9. По ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСктора ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСгмСнта?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сСктором называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, лСТащая Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (рис. 306).

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСктора вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сСгмСнтом называСтся общая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ полуплоскости (рис. 307).

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСгмСнта, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вопрос 1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ для простых Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π“Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ простой, Ссли Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число плоских Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ плоским Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ плоскости, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (рис. 294).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ простой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ являСтся Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΉ плоский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Он разбиваСтся Π½Π° плоскиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ диагоналями, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ (рис. 295). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ рассматриваСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ плоскиС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ поэтому ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· слово «ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ» Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ.

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ для простых Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

1) Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ.

2) Если Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° разбиваСтся Π½Π° части, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ простыми Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ частСй.

3) ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ измСрСния, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

Если ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сторону 1 ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… (\(ΠΌ^2\)). Если сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° 100 ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π³Π΅ΠΊΡ‚Π°Ρ€Π°Ρ…. Если сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ 1 ΠΊΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

Вопрос 2. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ сторон.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. НайдСм ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами \(a,\, b\). Для этого сначала Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями относятся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… высоты.

\[\left(\frac\right)m \leq AB_1 \leq \left(\frac\right)(m+1).\]

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° \(AB\), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ дСлСния прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ основанию \(AD\). Они Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(ABCD\) Π½Π° \(n\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ \(\frac\). ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(AB_1C_1D\) содСрТит ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ \(m\) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², считая снизу, ΠΈ содСрТится Π² \(m+1\) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ…. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

\[\left(\frac\right)m \leq S_1 \leq \left(\frac\right)(m+1).\]

Из нСравСнств (*) ΠΈ (**) ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π° числа \(\frac\) ΠΈ \(\frac\) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ \(\frac\) ΠΈ \(\frac + \frac<1>\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° \(\frac<1>\). А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(n\) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ большим, Ρ‚ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ \(\frac = \frac\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 1, \(a\) ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами \(a,\, b\) (рис. 296, Π±). Бравнивая ΠΈΡ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ эти равСнства ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами \(a,\, b\) вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° \(S = ab\).

Вопрос 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр \(AE\) ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ \(A\) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ \(CD\). ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ \(ABCE\) Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ADE\).

ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр \(BF\) ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ \(B\) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ \(CD\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ \(ABCE\) Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\) ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(BCF\).

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADE\) ΠΈ \(BCF\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\), Ρ‚.Π΅. Ρ€Π°Π²Π½Π° \(AB\cdot BF\).

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ \(BF\) называСтся высотой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ сторонам \(AB\) ΠΈ \(CD\).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

Вопрос 4. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° высоту, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ этой сторонС.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΅Π³ΠΎ стороны Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ высоту:

Вопрос 5. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π³ΠΎ сторон Π½Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π³ΠΎ сторон Π½Π° синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

\[S = \frac<1><2>AB\cdot AC\cdot \sin A.\]

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ \(ABC\) высоту \(BD\). ИмССм

Вопрос 6. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы оснований Π½Π° высоту.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ полусуммы Π΅Π΅ оснований Π½Π° высоту: \(S = \frac<2>\cdot h\).

Вопрос 7. Как относятся ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€?

Если коэффициСнт подобия Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \(k\), Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) Ρ€Π°Π· большС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). Π’ частности, стороны ΠΈ высоты Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) Ρ€Π°Π· большС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сторон ΠΈ высот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Бкладывая эти равСнства ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ подобия \(k\) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ \(F»\) ΠΈ \(F’\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ относятся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Вопрос 8. Π’Ρ‹Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Если Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° простая, Ρ‚. Π΅. допускаСт Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ опрСдСляСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Данная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ \(S\), Ссли ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ содСрТащиС Π΅Π΅ простыС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ содСрТащиСся Π² Π½Π΅ΠΉ простыС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с площадями, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΎΡ‚ \(S\). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ окруТности Π½Π° радиус.

Радиусы, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° \(P_1\), Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° \(n\) Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(AOD\). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S_ = AC\cdot OC = AC\cdot AO\cdot \cos\alpha\), Ρ‚ΠΎ

\[S_ = (nAC)AO\cos\alpha = \frac<2>\cos\alpha,\]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(P_1\), содСрТащийся Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(P_2\), содСрТащий ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом \(n\) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ \(p\) отличаСтся сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ \(l\) окруТности, Π° \(\cos\alpha\) сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(P_1\) ΠΈ \(P_2\) сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ \(\frac<2>\). Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Вопрос 9. По ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСктора ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСгмСнта?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сСктором называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, лСТащая Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (рис. 306).

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сСктора вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сСгмСнтом называСтся общая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ полуплоскости (рис. 307).

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСгмСнта, Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вопрос 11. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ высота ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, провСдСнная ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ прямого ΡƒΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ срСднСС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ проСкциями ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π£ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» прямой. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 11.2 для подобия Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ острому ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ACD\) ΠΈ \(CBD\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹: \(\triangle ACD \sim \triangle CBD\). Π£ Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… \(A\) ΠΈ \(C\). Из подобия этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… сторон:

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: высота ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, провСдСнная ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ прямого ΡƒΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ срСднСС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ проСкциями ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ.

Вопрос 12. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ биссСктриса Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ сторону Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ сторонам.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ свойство биссСктрисы Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: биссСктриса Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ сторону Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ сторонам.

Рассмотрим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(AC \neq BC\). ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляры \(AF\) ΠΈ \(BE\) ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ \(A\) ΠΈ \(B\) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ \(CD\).

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ACF\) ΠΈ \(BCE\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ \(C\). Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сторон:

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADF\) ΠΈ \(BDE\) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹. Π£ Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ \(D\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ сторон:

Бравнивая это равСнство с ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Ρ‚.Π΅. ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ \(AD\) ΠΈ \(BD\) ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ сторонам \(AC\) ΠΈ \(BC\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Вопрос 13. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ»?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π£Π³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ части. КаТдая ΠΈΠ· частСй называСтся плоским ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. На рисункС 245 Π·Π°ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· плоских ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² со сторонами \(a\) ΠΈ \(b\). ПлоскиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ сторонами Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Вопрос 14. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² окруТности называСтся плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Π΅Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ окруТности, располоТСнная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ плоского ΡƒΠ³Π»Π°, называСтся Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ окруТности, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ этому Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ (рис. 247). Градусной ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ окруТности называСтся градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

Вопрос 15. Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» называСтся вписанным Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π£Π³ΠΎΠ», Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности, Π° стороны ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ эту ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, называСтся вписанным Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π£Π³ΠΎΠ» \(BAC\) Π½Π° рисункС 248 вписан Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π•Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° \(A\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности, Π° стороны ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \(B\) ΠΈ \(C\). Говорят Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(A\) опираСтся Π½Π° Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρƒ \(BC\). ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ \(BC\) Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Π΄ΡƒΠ³, которая Π½Π΅ содСрТит Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ \(A\), называСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ вписанному ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

Вопрос 16. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вписанный Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11.5. Π£Π³ΠΎΠ», вписанный Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°..

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Рассмотрим сначала частный случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· сторон ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности (рис. 249, Π°). Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(AOB\) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ стороны \(OA\) ΠΈ \(OB\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ радиусы. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ \(A\) ΠΈ \(B\) Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… сумма Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ \(O\), Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(B\) Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡƒΠ³Π»Π° \(AOC\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай сводится ΠΊ рассмотрСнному частному ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° \(BD\) (рис. 249, Π±, Π²).

Π’ случаС, прСдставлСнном Π½Π° рисункС 249, Π±,

\[\angle ABC = \angle CBD + \angle ABD = \\ = \frac<1><2>\angle COD + \frac<1><2>\angle AOD = \frac<1><2>\angle AOC.\]

Π’ случаС, прСдставлСнном Π½Π° рисункС 249, Π²,

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Вопрос 17. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ свойства ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ…ΠΎΡ€Π΄ ΠΈ свойства ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² сСкущих.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Если Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ \(AB\) ΠΈ \(CD\) окруТности ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \(S\), Ρ‚ΠΎ

\[AS \cdot BS = CS \cdot DS.\]

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ сначала, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ASD\) ΠΈ \(CSB\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ (рис. 251). ВписанныС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ \(DCB\) ΠΈ \(DAB\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ‚Π²ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 11.5. Π£Π³Π»Ρ‹ \(ASD\) ΠΈ \(BSC\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. Из равСнства ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ASD\) ΠΈ \(CSB\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт пропорция

\[AS \cdot BS = CS \cdot DS,\]

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Если ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(P\) ΠΊ окруТности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ сСкущиС, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… \(A,\, B\) ΠΈ \(C,\, D\) соотвСтствСнно, Ρ‚ΠΎ

\[AP \cdot BP = CP \cdot DP.\]

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Всё ΠΏΡ€ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³

ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ плоскости, ограничСнная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΅Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТности, называСтся Ρ…ΠΎΡ€Π΄ΠΎΠΉ. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π°, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, прСдставляСт собой Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. Π”ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΅ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ радиусу: D = 2R.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ…ΠΎΡ€Π΄ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρƒ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ: a1a2 = b1b2

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности всСгда пСрпСндикулярна радиусу, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ касания.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊ окруТности, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹: AB = AC, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° биссСктрисС ΡƒΠ³Π»Π° BAC.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ сСкущСй Π½Π° Π΅Π΅ внСшнюю Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Π”ΡƒΠ³ΠΎΠΉ называСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ окруТности, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ΠœΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ (Π² градусах ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…) являСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ» это ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° окруТности, Π° cΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π΅Π΅.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ссли ΠΎΠ±Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ окруТности.
Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Π‘Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° называСтся гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, ограничСнная двумя радиусами ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ радиусы.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ сСктора: P = s + 2R.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора: S = Rs/2 = ПR 2 Π°/360Β°.

Π‘Π΅Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° называСтся гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, ограничСнная Ρ…ΠΎΡ€Π΄ΠΎΠΉ ΠΈ стягиваСмой Сю Π΄ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° подобная окруТности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гСомСтрия 9 класс

Вопрос 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ гомотСтия Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11.1. ГомотСтия Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия.

ΠŸΡ€ΠΈ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(X\) ΠΈ \(Y\) пСрСходят Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(X’\) ΠΈ \(Y’\) Π½Π° Π»ΡƒΡ‡Π°Ρ… \(OX\) ΠΈ \(OY\) соотвСтствСнно, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ равСнства

\(\overline = k\overline,\, \overline = k\overline\).

Вычитая эти равСнства ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

\(\overline — \overline = k(\overline — \overline)\).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(\overline — \overline = \overline\), \(\overline — \overline = \overline\), Ρ‚ΠΎ \(\overline = k\overline\). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \(|\overline| = k|\overline|\), Ρ‚.Π΅. \(X’Y’ = kXY\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, гомотСтия Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Вопрос 4. КакиС свойства прСобразования подобия Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅? Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия сохраняСт ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ полупрямыми.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для двиТСния, доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ подобия Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A, B, C\), Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, пСрСходят Π² Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A_1, B_1, C_1\), Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(B\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(A\) ΠΈ \(C\), Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(B_1\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(A_1\) ΠΈ \(C_1\). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прямыС Π² прямыС, полупрямыС Π² полупрямыС, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия сохраняСт ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ полупрямыми.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(ABC\) ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ подобия с коэффициСнтом \(k\) пСрСводится Π² ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(ABC\) ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ \(B\) с коэффициСнтом Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ \(k\). ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A\) ΠΈ \(C\) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A_2\) ΠΈ \(C_2\). Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2BC_2\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ. Из равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт равСнство ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² \(A_2BC_2\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΡƒΠ³Π»Ρ‹ \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Вопрос 5. КакиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π”Π²Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ пСрСводятся Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ подобия.

Вопрос 6. Каким Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ обозначаСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€? Как записываСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Для обозначСния подобия Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ: \(\sim\).

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ \(F\sim F’\) читаСтся Ρ‚Π°ΠΊ: «Π€ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° \(F\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ \(F’\)».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11.2. Если Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(k = \frac\). ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_1B_1C_1\) ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ подобия с коэффициСнтом подобия \(k\), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ (рис. 238). ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_2B_2C_2\), Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(ABC\). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия сохраняСт ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Π”Π°Π»Π΅Π΅, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ (ΠΏΠΎ сторонС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠΈΡ‰ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ поэтому Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Вопрос 8. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11.3. Если Π΄Π²Π΅ стороны ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ этими сторонами, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 11.2). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) ΠΈ \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_1B_1C_1\) ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ подобия с коэффициСнтом подобия \(k\), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ (рис. 240). ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_2B_2C_2\), Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(ABC\). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ подобия сохраняСт ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ \(\angle C_2 = \angle C_1\). А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Π”Π°Π»Π΅Π΅, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ (ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ поэтому Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Вопрос 9. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ сторонам.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11.4. Если стороны ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ сторонам Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 11.2). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_1B_1C_1\) ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ подобия с коэффициСнтом подобия \(k\), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ (рис. 242). ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(A_2B_2C_2\), Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ \(ABC\). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ (ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ сторонам).

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ поэтому Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.

Вопрос 10. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ срСднСС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ этого ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π£ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» прямой. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 11.2 для подобия Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ острому ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(CBD\) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ \(B\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сторон:

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ срСднСС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ этого ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *