ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 1. Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (ΡΠΈΡ. 294).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ. ΠΠ½ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 295). ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π· ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ «ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ» Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ.
ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
1) Π Π°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ.
2) ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
3) ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ 1 ΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ (\(ΠΌ^2\)). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° 100 ΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² Π³Π΅ΠΊΡΠ°ΡΠ°Ρ . ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ 1 ΠΊΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ , ΠΈ Ρ. ΠΏ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 2. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ Π²ΡΡΠΎΡΡ.
\[\left(\frac
ΠΡΡΡΠ΄Π°, ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° \(AB\), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ \(AD\). ΠΠ½ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(ABCD\) Π½Π° \(n\) ΡΠ°Π²Π½ΡΡ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ \(\frac
\[\left(\frac
ΠΠ· Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (*) ΠΈ (**) ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π° ΡΠΈΡΠ»Π° \(\frac\) Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ \(\frac= \frac
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ 1, \(a\) ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\) (ΡΠΈΡ. 296, Π±). Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° \(S = ab\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 3. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ \(AE\) ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ \(A\) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ \(CD\). ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ \(ABCE\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ADE\).
ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ \(BF\) ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ \(B\) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ \(CD\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ \(ABCE\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\) ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(BCF\).
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADE\) ΠΈ \(BCF\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\), Ρ.Π΅. ΡΠ°Π²Π½Π° \(AB\cdot BF\).
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ \(BF\) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ \(AB\) ΠΈ \(CD\).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 4. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ Π²ΡΡΠΎΡΡ:
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 5. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
\[S = \frac<1><2>AB\cdot AC\cdot \sin A.\]
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ \(ABC\) Π²ΡΡΠΎΡΡ \(BD\). ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 6. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡΠΌΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡΠΌΠΌΡ Π΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ: \(S = \frac<2>\cdot h\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 7. ΠΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ?
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ \(k\), ΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ \(k\) ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠΈΠ³ΡΡ \(F»\) ΠΈ \(F’\). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 8. ΠΡΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π°.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ, Ρ. Π΅. Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ \(S\), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΎΡ \(S\). ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π°.
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΡΠ³Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ.
Π Π°Π΄ΠΈΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(P_1\), ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° \(n\) ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ \(AOD\). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S_
\[S_
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(P_1\), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉΡΡ Π² ΠΊΡΡΠ³Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ
Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(P_2\), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΌ \(n\) ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ \(p\) ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ \(l\) ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° \(\cos\alpha\) ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(P_1\) ΠΈ \(P_2\) ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ \(\frac
ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 9. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° (ΡΠΈΡ. 306).
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 307).
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΊΡΡΠ³Ρ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 1. Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ (ΡΠΈΡ. 294).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ. ΠΠ½ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 295). ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π· ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ «ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ» Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ.
ΠΠ°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
1) Π Π°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ.
2) ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
3) ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ 1 ΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ (\(ΠΌ^2\)). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° 100 ΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² Π³Π΅ΠΊΡΠ°ΡΠ°Ρ . ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ 1 ΠΊΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ , ΠΈ Ρ. ΠΏ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 2. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\). ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ Π²ΡΡΠΎΡΡ.
\[\left(\frac
ΠΡΡΡΠ΄Π°, ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° \(AB\), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ \(AD\). ΠΠ½ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(ABCD\) Π½Π° \(n\) ΡΠ°Π²Π½ΡΡ
ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ \(\frac
\[\left(\frac
ΠΠ· Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (*) ΠΈ (**) ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π° ΡΠΈΡΠ»Π° \(\frac\) Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ \(\frac= \frac
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ 1, \(a\) ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\) (ΡΠΈΡ. 296, Π±). Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a,\, b\) Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° \(S = ab\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 3. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ \(AE\) ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ \(A\) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ \(CD\). ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ \(ABCE\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ADE\).
ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ \(BF\) ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ \(B\) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ \(CD\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ \(ABCE\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\) ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(BCF\).
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADE\) ΠΈ \(BCF\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° \(ABCD\) ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(ABFE\), Ρ.Π΅. ΡΠ°Π²Π½Π° \(AB\cdot BF\).
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ \(BF\) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ \(AB\) ΠΈ \(CD\).
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 4. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ Π²ΡΡΠΎΡΡ:
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 5. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
\[S = \frac<1><2>AB\cdot AC\cdot \sin A.\]
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ \(ABC\) Π²ΡΡΠΎΡΡ \(BD\). ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 6. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡΠΌΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡΠΌΠΌΡ Π΅Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ: \(S = \frac<2>\cdot h\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 7. ΠΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ?
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ \(k\), ΡΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle»_n\) Π² \(k\) ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(\triangle’_n\). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ \(k\) ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠΈΠ³ΡΡ \(F»\) ΠΈ \(F’\). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 8. ΠΡΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π°.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ, Ρ. Π΅. Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
ΠΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ \(S\), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ ΠΎΡ \(S\). ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π°.
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΡΠ³Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ.
Π Π°Π΄ΠΈΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° \(P_1\), ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° \(n\) ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ \(AOD\). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(S_
\[S_
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(P_1\), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉΡΡ Π² ΠΊΡΡΠ³Π΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ
Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(P_2\), ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΊΡΡΠ³, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΌ \(n\) ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ \(p\) ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ \(l\) ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° \(\cos\alpha\) ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(P_1\) ΠΈ \(P_2\) ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ \(\frac
ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 9. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° (ΡΠΈΡ. 306).
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 307).
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΊΡΡΠ³Ρ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 11. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π£ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 11.2 Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ.
Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ACD\) ΠΈ \(CBD\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ: \(\triangle ACD \sim \triangle CBD\). Π£ Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΎΡΡΡΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°Ρ \(A\) ΠΈ \(C\). ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½:
ΠΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 12. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°: Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \(AC \neq BC\). ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΡ \(AF\) ΠΈ \(BE\) ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ \(A\) ΠΈ \(B\) Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ \(CD\).
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ACF\) ΠΈ \(BCE\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΎΡΡΡΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅ \(C\). ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½:
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ADF\) ΠΈ \(BDE\) ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ. Π£ Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Ρ ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅ \(D\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅. ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½:
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
Ρ.Π΅. ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ \(AD\) ΠΈ \(BD\) ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ \(AC\) ΠΈ \(BC\), ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 13. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ»?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π£Π³ΠΎΠ» ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 245 Π·Π°ΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ \(a\) ΠΈ \(b\). ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ Ρ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 14. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ»?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π¦Π΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Π΅Π΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅. Π§Π°ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ (ΡΠΈΡ. 247). ΠΡΠ°Π΄ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 15. ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π£Π³ΠΎΠ», Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ. Π£Π³ΠΎΠ» \(BAC\) Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 248 Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ. ΠΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π° \(A\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ \(B\) ΠΈ \(C\). ΠΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» \(A\) ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ \(BC\). ΠΡΡΠΌΠ°Ρ \(BC\) ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΄ΡΠ³ΠΈ. Π¦Π΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π΄ΡΠ³, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΡ \(A\), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 16. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 11.5. Π£Π³ΠΎΠ», Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°..
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠ³Π»Π° ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 249, Π°). Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(AOB\) ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ \(OA\) ΠΈ \(OB\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ \(A\) ΠΈ \(B\) ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ. Π ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅ \(O\), ΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» \(B\) ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠ³Π»Π° \(AOC\), ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠ±ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° \(BD\) (ΡΠΈΡ. 249, Π±, Π²).
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 249, Π±,
\[\angle ABC = \angle CBD + \angle ABD = \\ = \frac<1><2>\angle COD + \frac<1><2>\angle AOD = \frac<1><2>\angle AOC.\]
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 249, Π²,
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 17. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ .
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ \(AB\) ΠΈ \(CD\) ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ \(S\), ΡΠΎ
\[AS \cdot BS = CS \cdot DS.\]
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ASD\) ΠΈ \(CSB\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ (ΡΠΈΡ. 251). ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ \(DCB\) ΠΈ \(DAB\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 11.5. Π£Π³Π»Ρ \(ASD\) ΠΈ \(BSC\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅. ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ASD\) ΠΈ \(CSB\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΡ
\[AS \cdot BS = CS \cdot DS,\]
ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(P\) ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ \(A,\, B\) ΠΈ \(C,\, D\) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΎ
\[AP \cdot BP = CP \cdot DP.\]
ΠΡΡΡΠ΄Π° \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\), ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΡΡ ΠΏΡΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΠΊΡΡΠ³
ΠΡΡΠ³ΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ°Ρ Π΅Π΅ ΡΠ΅Π½ΡΡ.
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄ΠΎΠΉ. Π₯ΠΎΡΠ΄Π°, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ. ΠΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΅ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ: D = 2R.
Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ: a1a2 = b1b2
ΠΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΊΠ°ΡΠ°Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΡΠ°Π²Π½Ρ: AB = AC, ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ³Π»Π° BAC.
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° Π΅Π΅ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ
ΠΡΠ³ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠΉ Π΄ΡΠ³ΠΈ (Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠΉΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π΄ΡΠ³Ρ.
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ», Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° cΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ³Π»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ Π΅Π΅.
ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΡΠ³Π»Π° ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ Π΄ΡΠ³Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ Π΄ΡΠ³Ρ, ΡΠ°Π²Π½Ρ.
Π‘Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: P = s + 2R.
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: S = Rs/2 = ΠR 2 Π°/360Β°.
Π‘Π΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Ρ ΠΎΡΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π΅Ρ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 3. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 11.1. ΠΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(X\) ΠΈ \(Y\) ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(X’\) ΠΈ \(Y’\) Π½Π° Π»ΡΡΠ°Ρ \(OX\) ΠΈ \(OY\) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
\(\overline
ΠΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
\(\overline
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(\overline
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 4. ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅? ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(A, B, C\), Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(A_1, B_1, C_1\), ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° \(B\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(A\) ΠΈ \(C\), ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° \(B_1\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(A_1\) ΠΈ \(C_1\). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Π² ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ Π² ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» \(ABC\) ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ \(k\) ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠ³ΠΎΠ» \(A_1B_1C_1\) (ΡΠΈΡ. 237). ΠΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ³Π½Π΅ΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ» \(ABC\) ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ \(B\) Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΈ \(k\). ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(A\) ΠΈ \(C\) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠΈ \(A_2\) ΠΈ \(C_2\). Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2BC_2\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡ. ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² \(A_2BC_2\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠ³Π»Ρ \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 5. ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌΠΈ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ²Π΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π² Π΄ΡΡΠ³Π° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 6. ΠΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡ? ΠΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²?
ΠΡΠ²Π΅Ρ. ΠΠ»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΡΠΎΠΊ: \(\sim\).
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ \(F\sim F’\) ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: «Π€ΠΈΠ³ΡΡΠ° \(F\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° ΡΠΈΠ³ΡΡΠ΅ \(F’\)».
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 7. Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠ³Π»Π°ΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 11.2. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ³Π»Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠ³Π»Π°ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. ΠΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
ΠΡΡΡΡ \(k = \frac
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 8. Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ ΠΈ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 11.3. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΡΠ³Π»Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 11.2). ΠΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) ΠΈ \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
ΠΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ³Π½Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(A_1B_1C_1\) ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ \(k\), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΈ (ΡΠΈΡ. 240). ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(A_2B_2C_2\), ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ \(ABC\). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ³Π»Ρ, ΡΠΎ \(\angle C_2 = \angle C_1\). Π Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). ΠΠ°Π»Π΅Π΅, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡ (ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ ΠΈ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 9. Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 11.4. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ (Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 11.2). ΠΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² \(ABC\) ΠΈ \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
ΠΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ³Π½Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(A_1B_1C_1\) ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ \(k\), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠΈ (ΡΠΈΡ. 242). ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ \(A_2B_2C_2\), ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ \(ABC\). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ:
\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),
\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),
\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡ (ΠΏΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(A_2B_2C_2\) Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_2B_2C_2\) ΠΈ \(ABC\) ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(A_1B_1C_1\) ΠΈ \(ABC\) ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ 10. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ. Π£ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 11.2 Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ³Π»Ρ.
Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ \(ABC\) ΠΈ \(CBD\) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π΅ \(B\). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½:
ΠΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: ΠΊΠ°ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ° Π½Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.